Re: [微積]要怎麼算分部積分??

[calvin4 (calvin)]

※ 引述《purestone (天空之子)》之銘言：
: 在這裡問一個很外行的問題,在作分部積分時,要怎麼知道對誰作積分??
: 憑經驗??瞎猜??
推文也說了很多了，其實真的就是經驗跟一點點的瞎猜。
不過其實還是有一些方向可循的。

首先，觀察一下分部積分的公式：∫udv = uv - ∫vdu 。
會發現被我們當作 u 的部份，到了等式的右邊，會被拿去微分；
      被我們當作 v 的部份，到了等式的右邊，會被拿去積分。

所以我們需要思考的是：到底應該把誰拿去微分、把誰拿去積分？

我們做分部積分，就是因為老老實實地把函數拿去積分沒辦法積出來，
我們才會想要透過分部積分將積分式寫得簡單、好看一點。
也就是說，我們選的 u 、 dv 必須能使我們的積分式看起來更好看才可以。
所以，你在選 u 的時候，必須是選那種就算拿去微分也不會變得更複雜的 u ；
        在選 dv 的時候，必須是選那種就算拿去積分也不會變得更複雜的 dv 。

舉例。

<ex> Evaluate (a)∫x^2 cosx dx ;
              (b)∫x^2 e^x dx ;
              (c)∫x^2 lnx dx .

<sol>
(a) 在這題中，你可以把"x^2 cosx dx"看成四種排列組合：

  [1]．[x^2 cosx dx]   [x^2]．[cosx dx]   [cosx]．[x^2 dx]   [x^2 cosx]．[dx]
   u        dv           u        dv        u       dv           u        dv

    你覺得積誰才不會讓原式變得更複雜？微誰才不會變得更複雜？
    注意：我們的原則是積了、微了之後，積分式不會變得更複雜才行。
    積出來的東西不一定會變得比較簡潔，但無論如何都不能變得更複雜。

    如果是我，我會覺得把 x^2  拿去微了，會變得比較簡潔，當作 u ；
                      把 cosx dx 拿去積了，不會變得比較複雜，當作 dv 。
                      （反正把三角函數拿去積分還是三角函數）

    所以我會選 u = x^2, dv = cosx dx    =>    du = 2x dx, v = sinx.
    則 原式 = x^2 sinx - 2∫x sinx dx 。

    看！原本積分式 x 的次數是 2 次的，現在只剩 1 次了。
    同樣的動作再做一遍就行了。


(b) 在這題中，同樣把"x^2 e^x dx"看成四種排列組合：

  [1]．[x^2 e^x dx]   [x^2]．[e^x dx]   [e^x]．[x^2 dx]   [x^2 e^x]．[dx]
   u        dv           u      dv        u       dv          u       dv

    同樣的問題再問一次自己：積誰才不會變複雜？微誰才不會變複雜？

    如果是我，我會覺得把 x^2 拿去微了，會變得比較簡潔，當作 u ；
                      把 e^x dx 拿去積了，不會變得比較複雜，當作 dv 。
                      （反正指數函數拿去積分還是指數函數）

    所以我會選 u = x^2, dv = e^x dx    =>    du = 2x dx, v = e^x.
    則 原式 = x^2 e^x - 2∫x e^x dx 。

    同學們，原本積分式中 x 的次數是 2 次的，現在只剩 1 次了。
    同樣的動作再做一遍就行了。









也許你會說，以後做分部積分遇到polynomial，就把它拿去微分就好啦。

可惜的是，人生不如意事，十之八九。
並不是所有的時候我們都必須把polynomial拿去微分的。
我們看下一個例子。









(c) 在這題中，同樣把"x^2 lnx dx"看成四種排列組合：

  [1]．[x^2 lnx dx]   [x^2]．[lnx dx]   [lnx]．[x^2 dx]   [x^2 lnx]．[dx]
   u        dv          u       dv        u       dv          u       dv

    同樣的問題再問一次自己：積誰才不會變複雜？微誰才不會變複雜？

    今天，我就是不會積x^2 lnx，才會想來用分部積分，
    但最左邊的紅色 dv 竟然還叫我把他拿去積一積，我連開始都不想開始。淘汰。
    此外，把最右邊那個選項的黃色 u 拿去微分，發現 u 會立刻變得很醜，
    所以也淘汰掉算了。剩下中間兩個可能的選項。

    兩相比較之後，如果你要我積 lnx ，我會很不願意。
    雖然 lnx 是積得出來的，但是積出來的東西跟 x^2 積出來的東西一比，
    x^2 積出來的東西顯然好看多了。

    因此這種情況，我反而寧願把 lnx 拿來微，當作 u ；
                            把 x^2 dx 拿來積，當作 dv 。

    因此我設 u = lnx, dv = x^2 dx     =>    du = 1/x dx, v = 1/3 x^3
    則 原式 = 1/3 x^3 lnx - 1/3 ∫x^3 /x dx
            = 1/3 x^3 lnx - 1/3 ∫x^2    dx （polynomial被1/x除掉了！）
            = 1/3 x^3 lnx - 1/9 x^3 + C 。

    同學們，我們要感謝 lnx 的美好性質。
    因為polynomial正好可以被 1/x 降次，
    所以就算我們把polynomial拿去積，也不會讓原積分式變得更複雜。



因此你得到一些經驗法則：

1. 當polynomial與三角函數或指數函數乘在一起時，
   把polynomial當 u ，把三角函數dx、指數函數dx當成 dv 。

2. 當polynomial與對數函數乘在一起時，
   把polynomial dx 當成 dv ，把對數函數當作 u 。

剩下的，就要請你自己從習題中摸索囉。

謹記：做分部積分時，要將積分式中的函數視為兩個函數相乘（小心該函數可能是1）。
      觀察兩個函數，看誰被微、誰被積之後，不會讓積分式變得更複雜。
      令被微的那個函數為 u ，令被積的那個函數f(x)dx 為 dv 即可。

話雖如此，你要能判斷誰被微、被積之後不會讓積分式變得更複雜，
我們還是要對各種函數有一定程度的熟悉才行。因此多做習題還是必要的。

此外，有推文說得有道理：要怎麼取 u、v 其實都可以，只是好不好算的問題。

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※ 編輯: calvin4         來自: 218.166.39.217       (08/04 23:53)
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