Re: [微積] 請問一個最基本的問題 lnx

[ntust661 (Crm~)]

原文43


我覺得你不能用(反微分)積分這種東西來說，不然解釋半天你也不會相信


原 PO 就先假裝不知道這個對數 ln 指數 e 往下看吧 :)




                               f(x+h) - f(x)
導函數的定義是    f'(x) = lim  ──────
                          h→0      h



既然 三角函數 多項式函數 我都可以帶這個定義來求導函數


那對數呢??


          x
f(x) = log     f'(x) = ???
          a


當然囉帶入定義吧~

                 (x + h)     x
              log       - log
                 a           a
f'(x) = lim  ───────────
        h→0            h



因為對數律 相減 變成 相除

                         x  + h
                       (────)
                    log    x
                       a
f'(x) = lim  ───────────
        h→0            h



因為對數律  外面相乘 變成 次方


                           1
                          ──
                      h    h
                (1 + ──)
      = lim  log      x
        h→0    a


                       h                1                  x
感覺有點怪怪的 裡面有 ── ， 外面只有 ── 。 那我讓他乘 ──
                       x                h                  x

                                 1
                               ──
                            h    h
               x      (1 + ──)
      = lim   ── log      x
        h→0   x      a


              ↑ 反正乘 1 結果不會變 。 所以乘個 x 就要除個 x




利用對數律，把分子的 x 移進去次方裡面


                                 x
                               ──
                            h    h
               1      (1 + ──)
      = lim   ── log      x
        h→0   x      a



這時候產生了一個非常神奇的東西 e


                        1/h
       請問 lim  (1 + h)    =  ???
            h→0


       有人說， 1 加上微量，然後在乘上無窮次方還是 1


       有人說， 不對!  1 加上微量的無窮次方，然後算出來會變成 2


       有人又說，錯錯錯! 1 + 微小擾動的無窮次方，會造成無限大


       啾~~~~~~靜!誰才是對的呢?


這時候 Euler 就跑出來叫啦~


他說，這個簡單，利用二項式展開


       m     m   m  n      m     m      m  2    m  3          m n
(1 + x)   =  Σ C  x   =  C   + C  x + C  x  + C  x  + ... + C x + ...
            n=0  n         0     1      2       3             n



 C 就是算組合數


  m         m!
 C   = ─────  ( ! 表示 階乘 )
  n    (m-n!)(n!)




 所以依照二項式定理

        1/h     (1/h)!       (1/h)!           (1/h)!    2
 (1 + h)     = ────  + ───── (h) + ───── h + ...
               0!(1/h)!    1!(1/h-1)!       2!(1/h-2)!


                  1            1                1
             =   ──    +    ──        +    ──      + ...
                  0!           1!               2!


                 1      1      1      1      1      1
             =  ── + ── + ── + ── + ── + ── +...
                 0!     1!     2!     3!     4!     5!


             =  2.718281828...


  然而這個數字我們就簡略以 e 來代替




---回到這個式子

                                 x
                               ──
                            h    h
               1      (1 + ──)
      = lim   ── log      x
        h→0   x      a



我可以知道上面那串可以寫成 e 這個常數


            e
         log
            a         1                x
      = ───  =  ────   (其中 log   寫成自然對數 ln  )
          x         x  lna             e



這下好啦 ! 我知道對數微分了



那我好像知道一件事情了!



                            n           1     n + 1
    平常的多項式積分   ∫  x  dx   =  ──   x       + C
                                      n + 1


    但是遇到 n = -1 就不能運算了!



                                 1
還好今天我看到對數的微分等於  ────  (其中 ln a 又是常數)
                               x  lna



那我要如何把 ln a 改成 1 呢 ???



很簡單! 只要把"真數"與"底數"寫成一樣的時候就會等於 1 了。



那我 ln a 的底數，就是 2.718281828....  = e


                                  1
那我也把真數 a 令為 e  就會得到 ── 了
                                  x


              x       1
那我既然 D log   = ────
              a     x  lna


a = e 的時候??


              x       1
         D log   = ────  ??
              e       x


                      1
         d( ln x) = ─── dx
                      x



原PO的問題就迎刃而解啦!!!


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.118.234.83
推 cosmo2256   :超推...感謝您的辛勞啦:)  不過我要再研究一下課本
→ cosmo2256   :因為它跟你是完全背道而馳  由於你用了尤拉公式
→ cosmo2256   :所以知道那一坨等於e這個常數  但課本是不用尤拉
→ cosmo2256   :反而是先知道lnx的微分是1/x  然後才知到
→ cosmo2256   :(1+1/X)^X的極限是e
→ ntust661    :感覺課本這樣寫會造成吸收不良
→ ntust661    :要定義他那你還不如先定義對數
→ ntust661    :你說是不是呀~
推 cosmo2256   :我也絕得你這樣比較直觀:)
→ ntust661    :我覺得你看我這個看懂了在看課本上的=3=
→ ntust661    :個人推薦啦...因為當初我在學的時候我覺得這樣吸收快
→ cosmo2256   :感謝阿   你的我懂了 :)
推 ckWade      :寫得真好 cosmo你可以去借一本書 "毛起來說e"
→ ckWade      :整本書就是為了解答e lnx 這些數的觀念而寫的
推 cosmo2256   :喔~~  感謝你喔:)
推 mantour     :我覺得反過來也沒有錯呀
→ mantour     :課本這種定義方式的目的並不是要定義e
→ mantour     :而是為了要求 1/x 的反導函數
→ mantour     :過程中自然產生了e這個常數
推 cosmo2256   :但是這樣的話有兩個問題   第一  如何證明他有
→ mantour     :而且我想之所以會用這樣寫法也是有原因的
→ mantour     :證明呀 課本上後面應該有寫 自己去看
→ cosmo2256   :對數性質  第二  我講錯了  只有第一XD
→ ntust661    :任何的積分，都是以微分來推的
→ ntust661    :所以我覺得要學積分最好先學會微分QQ
推 mantour     :不對 定積分的定義是獨立於微分的定義外的
→ ntust661    :應該說有微積分基本定理才知道微分積分的關係吧@@
→ mantour     :n大這樣的approach不是不行 但要做到數學上嚴謹
→ mantour     :要考慮得比較多
→ ntust661    :就像本版的第一篇XD?
→ mantour     :你要先定義出 a^x ， x為實數時的值
推 cosmo2256   :目前我支持n大  理由是   比如說我們做cosx的積分
→ mantour     :然後證明指數函數和對數函數都是連續函數
→ cosmo2256   :不是就都是說  因為sinx的微分等於cosx所以cosx的
→ mantour     :這沒有什麼支不支持 二種都可以
→ mantour     :請回想定積分的定義…
→ cosmo2256   :的積分等於sinx嗎?  若不用這個  那要如何做cosx積分
→ cosmo2256   :呢?
→ mantour     :請回想定積分的定義
→ mantour     :先分別定義定積分 和微分 之後才有微基分基本定理
推 cosmo2256   :那要如何用積分的定義求cosx的積分呢?
推 hanabiz     :你不知道有的書先從積分開始講？
推 yuyumagic424:早年一堆數學家都用一些奇奇怪怪的技巧來做積分的
→ ntust661    :其實在很久以前似乎積分比微分早講很多
→ yuyumagic424:到了牛頓和萊布尼茲提出微積分基本定理以後
→ yuyumagic424:積分問題才被簡化為求反微導
推 calvin4     :這篇我看了很感動，請讓我m了他。原po你真用心！
→ ntust661    :恩嗯~
推 mikechan    :推
推 srewq       :推喔!
推 ri3567      :推阿銘~~~
推 kagato      :推!!
推 e761031     :推阿~
推 VAX9210     :原PO用心+1