Re: [微積] The Mean Value Thm.

[math1209 (.......................)]

※ 引述《ib61632003 (北北)》之銘言：
: 昨天有了一篇問均值定理的文章
: 但還是有些地方不懂
: google了一下MVT
: 網路上有分成積分均值定理、微分均值定理
: 昨天有位大大說
: 在"某種假設底下"
: 兩個是等價的
: 我的疑問是
: 兩個定理，從數學式，到幾何意義
: 都不相同
: 為什麼會會等價?
: 是從什麼角度去看?
: 還是說均值定理根本分成兩個定理  微分MVT和積分MVT?
: 因為課本上證明的時候 如果引用MVT  他只會說  根據MVT...
: 有時候下面引用的是微分MVT  有時候是積分MVT
: 感謝各位大大替我解答><"
: 這個問題困擾我很久了

  當書本上提到了 MVT 時，那就得看書上在作什麼…較有善心的作者會寫的很明白。這
  一點其實你不用太困惑就是了…至於微分的 MVT 與積分的 MVT 為何我會在某種條件
  之下說等價? 這是基於微積分基本定理：他將微分與積分的世界聯繫起來了。以現在
  的意義來看，"平均指的是弱收斂 [這句話，看不懂就當作沒這回事…]".

  現在我們來看看為何 " 微分的 MVT 與積分的 MVT 為何在某種條件之下是等價? "
  假設函數 f 有很好的性質，例 f' 存在且連續於 [a,b] (緊緻區間). 給你兩個式子，
  你自行推敲，看不懂我們可以再討論討論…

                        b
  (1) f(b) － f(a) ＝ ∫   f'(x) dx ＝ f'(c) (b － a).
                        a
                    x
  (2) Say F(x) ＝ ∫  f(t) dt, then
                    a
       b
      ∫  f(t) dt ＝ F(b) － F(a) ＝ F'(c) (b － a) ＝ f(c) (b － a).
       a

   (1) 講的是積分 MVT 推得微分 MVT （看其首尾).
   (2) 講的是微分 MVT 推得積分 MVT （看其首尾).

  在上述中你一定會用到微積分基本定理:換句話說微積分基本定理聯繫著積分與微分。
  這是一個信念：微分可以做出來得，積分也可以作出來。反之亦然…當然這時候給予
  的條件就得非常好才行。

  舉個例子吧:

                微分世界                          積分世界

        【線性 Linearity】                 【線性 Linearity】

      (αf＋βg)'＝αf'＋βg'            ∫αf(x)＋βg(x) dx
                                       ＝α∫f(x) dx＋β∫g(x)dx

【乘法規則 Rule of Multiplication】   【分部積分 Integration by parts】

      (f‧g)'＝f'g ＋ gf'                ∫ f(x) dg(x)
                                       ＝f(x)g(x)－∫g(x)df(x)

      【鏈鎖率 Chain Rule】            【變數變換 Change of Variable】

 ( f( g(x) ) )'＝f'(g(x))‧g'(x)       ∫ f( g(x) ) d(g(x))

                                       ＝ ∫f( g(x) ) g'(x) dx

                                       ＝ ∫f(u) du

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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.
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※ 編輯: math1209        來自: 220.133.4.14         (01/07 16:11)
推 APE36       :推~好聞
推 ib61632003  :嗯嗯  懂了   但我還有個疑問  就是
→ ib61632003  :您說""給予的條件要非常好""   那如果條件不好   就
→ ib61632003  :不能用微積分基本定理將他聯繫囉?這時兩個就不相關?
→ math1209    :條件不夠好, 兩個 MVT 就未必等價了...
→ math1209    :這也是我一開始說的：在某種條件之下,兩者等價.
→ ib61632003  :所以其實他們還是不能完全算是同個定理嗎?Wanted有板
→ ib61632003  :有說兩個根本不同定理 ? 所以說我的書上它應該要標示
→ ib61632003  :引用哪個定理囉?
→ ib61632003  :他再前面有一小節專門介紹MVT但列出來的是微分MVT
→ ib61632003  :之後要證明求曲線公式 說根據MVT 卻引用積分MVT
→ math1209    :對！嚴格來說, 這兩個 MVT 是不同的定理...
→ math1209    :就好比你用了 Chain Rule 時, 你總不會去寫使用了變
→ math1209    :數變換吧!??
推 ib61632003  :恩   感謝你耐心回答!!
推 gkaok2      :推推~~
推 hanabiz     :推耐心回答!
推 srewq       :推耐心解答  和觀念解析!!