推 Lindemann :強 01/12 08:53
推 betray911015:謝謝 01/13 00:43
推 FernandoMath:推(2) 01/13 01:17
※ 編輯: math1209 來自: 220.133.4.14 (01/13 03:42)
※ 引述《betray911015 (回頭太難)》之銘言：
: Suppose that f: R→R is continous and f(x) = 0
: if x is rational. Show that f(x) = 0 , x=R
: 我的想法: 這個函數應該是 0，所以是要證明
: 這個函數 0 在任何數都會連續。這樣嗎?
: 因為 lim f(x) = 0
: x→∞
: lim f(x) = 0
: x→-∞
: 故得證 f(x) = 0
: 這樣的證明行嗎?
Proof.
已知: f(x) 在有理數點 q 的值，f(q) ＝ 0. 欲證 f(x) ＝ 0 for all x in |R, 現在只
需證明 f(r) ＝ 0, 其中 r 為無理數。給予一無理數 r, 則必存在一組有理數數列 {q_n}
使得 q_n → r. 藉由已知，我們得到
0 ＝ lim f(q_n)
n→∞
＝ f(lim q_n) by continuity of f at r,
n→∞
＝ f(r).
因為 r 是任意選取的無理數，故我們證明了 f(r) ＝ 0, 其中 r 為無理數。
NOTE.
(1) 我們把題目改成下列陳述也是對的…
(Proposition) 命 f(x):|R →|R 為連續函數，且對於所有的無理數 r, 我們有 f(r)＝0.
證明 f(x) ＝ 0 for all x. [易知 domain 是否為 |R, 無關緊要…]
Ref. Apostol, T. M., Mathematical Analysis, 2nd ed. Addison-Wesley, 1975. Exer-
cise 4.13, Chap. 4, p. 97. (Proof. http://frankmath.cc/plover/Apostol.pdf pp.
100-101.)
(2) [這篇的重點…]
命 C[a,b] 為連續函數定義於 [a,b] 之集合，則 #(C[a,b]) ＝ #(|R) ＝ c. 藉由本題
可知此結果。此外，利用本題的結論與下列的事實：
(C[a,b], ∥．∥_∞) 為 Banach space, 故其維度 ≧ c.
可知其維度也正好是 c.
[此處說明了一件事：存在一向量空間其維度跟個數一樣多].
Ref. Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis. Dover Publications, Inc.
New YorK, 1982. Exercise. 4.8.7, Chap. 4, p. 154.
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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.
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