[機統] Monty Hall三門問題結論 (with proof)

[hectorhsu (The Hector)]

請注意命題..

原題：
    參賽者看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門就
可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊，主持人是知道哪一扇門後面有汽
車的。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩下兩扇門的其
中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題
是：換另一扇參賽者贏得汽車的機率？沒特別說明的條件都是隨機的。（亦即假設設置時
汽車在每一扇門後面的機率均等，且若參賽者一開始就選到汽車，主持人打開剩下兩扇門
的機率均等。）

修改後題目：
     參賽者看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門就
可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊，主持人不知道哪一
扇門後面有汽車的。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩
下兩扇門的其中一扇（因為不知道哪一扇後面有汽車，故主持人機會均等地打開兩扇門的
其中一扇），露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。
問題是：換另一扇參賽者贏得汽車的機率？沒特別說明的條件都是隨機的。（亦即假設設
置時汽車在每一扇門後面的機率均等。）

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參考資料：
http://probability.ca/jeff/writing/montyfall.pdf

這位教授的paper意思是說, 假設編號門 1,2,3

令事件

A = 車在門 1 後面
B = 車在門 2 後面
C = 車在門 3 後面
D = 主持人打開門 3

且假設 : P(A) = P(B) = P(C) = 1/3

Proportional Principle 是說

P(A|D) = P(A&D)/P(D)
P(B|D) = P(B&D)/P(D)
P(C|D) = P(C&D)/P(D)

又

P(D|A) = P(A&D)/P(A)
P(D|B) = P(B&D)/P(B)
P(D|C) = P(C&D)/P(C)

所以 P(A|D) : P(B|D) : P(C|D) = P(D|A) : P(D|B) :P(D|C)

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原題
當你選門1  主持人開門3

P(D|A) = 1/2 基於"主持人隨機開二羊之一"的假設
P(D|B) = 1   必須開3因為2是車
P(D|C) = 0   不可以開到車

所以 所求P(A|D) : P(B|D) : P(C|D) = 1/2 : 1 : 0
normalize之後是 1/3 : 2/3 : 0
故換了會中的機率是 2/3



主持人不知道
當你選門1  主持人開門3

P(D|A) = 1/2   因為1/2亂開  且不會是車
P(D|B) = 1/2   因為他是亂開 且3也沒車
P(D|C) = 0     不可以開到車 與"開出來是羊"

所以 所求P(A|D) : P(B|D) : P(C|D) = 1/2 : 1/2 : 0
故換了會中的機率是 1/2

若不知道主持人知不知道?
則
[1] 若主持人知道  換有利
[2] 若不知道     吃沒差

-> 當然換  這是賽局xD




推 Lwms        :你原本對了，改成這樣又錯了 Q_Q
我覺得要討論的話就要寫出點東西= =a
原本我也很堅持啊
數學國不會因為算錯而羞恥  但是一輩子不確定答案想到就冷汗直流..

非常歡迎各位提出反駁  以上論證何處有瑕疵
不要用"自己的對所以對方不對"來說

另外我要強調  這是我看來的  我也沒認為這樣一定對
so 如果有人幫忙驗證或偵錯都非常好


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如果沒有末班車，

我們就數著花瓣去旅行。


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.221.64.64
→ tw00088437  :合理啊
→ hectorhsu   :我希望這篇是對的話以後不要再討論了= =
→ hectorhsu   :另外原文wiki上有結論(同一參考資料)
→ hectorhsu   :勇於追求真相  聲名何妨 XD
→ tw00088437  :不過對於完全未知的情形下
→ tw00088437  :主持人的behavior應該有非常多種
→ tw00088437  :這時候換不換應該還是都1/2...
→ hectorhsu   :樓上這樣講會變成非常難的問題了 囧
→ hectorhsu   :e.g. 股票的behavior..
→ tw00088437  :不管他知不知情
→ tw00088437  :只要我丟公正硬幣決定要不要換
→ tw00088437  :我拿到車的機率就一定是1/2不是? 這樣最簡單XD
→ hectorhsu   :樓上廢話XDDDDD
推 lovecutes   :這題很典型的題目結論就是第一個部份的解
→ hectorhsu   :隨便回一句哭哭  感覺好像在罵我信仰不虔誠一樣xD
※ 編輯: hectorhsu       來自: 59.120.151.18        (01/18 11:34)