Re: [其他] 集合論被公認為全部數學的基礎

[math1209 (人到無求品自高)]

※ 引述《Lindemann (永無止盡的無奈)》之銘言：
:             我不是高手>_<,不過難道您沒注意到數學系最重要的必修的課
: 高微,複變,代數,拓墣,機率,線代,實變,一開始都是先從介紹簡單的集合論開始嗎???
:        我認為集合論是最重要的一門入門課,但是覺得簡介真的不太夠最好單獨開一學期
: 集合論學的好高微,代數,拓墣甚至實變才能學的扎實,這重要性是後來遠出乎我的想像
:                       真正跟集合論最有相關的課就數理邏輯而已,可惜台灣好像很少
: 這方面的老師,其實我大學就沒修過和學過的大學程度的數學就數理邏輯而已XDD,
: 我似乎是不需要懂到數理邏輯,不過還真的蠻想懂Godel不完備公理的(聽說不難學)
: 之前常回想大學為何實變和實數完備性都唸不懂呢?
: 應該是因為我的集合論太差>_<

 [這篇文章很長，大多是故事與心得…看不懂可以一起討論，若有錯請指正，謝謝。]

 我是覺得這部分的學問可大可淺，就我個人的需要：元素、集合、函數、(等價)關係、
 基(序)數等較為重要…而其他部分就不是那麼需要(而這其他部分大概說明一下就行了).
 假使讀者有興趣，就自己去翻書看一看。

 實數系統的完備性通常有兩種方法：一種是 Cantor 分析方法，另一種是 Dedekind 的代
 數方法…在經典名著裡 Walter Rudin 於其高微本裡有這兩種。巧合的是這兩篇論文都發
 表在同時 (1872 年). 要是有興趣可以先看一下數學傳播裡林琦焜教授寫的，再看中央（
 台大) 退休教授王九逵於數學傳播寫的。王九逵教授將 Cantor 與 Dedekind 的方法合併
 之。而實分析方面，我想還是從測度論著手較為恰當 (否則我個人覺得會會非常雜亂)。
 測度方面的歷程，我寫在文末當備註。

 NOTE. 關於 Cantor 這個利用科西序列的方法，比較好懂得是這一本書：(據說作者出了
 一本是工數經典。Erwin Kreyszig 所寫的 Introductory Functional Analysis with
 Applications).

 以下將陳述我所知道的一些歷史。(我參考了"確定性的失落"-作者：莫里斯‧克萊恩 著
 譯者：趙學信、出版社：台灣商務，這一本書。這部分當作閒談吧…)

                    【1931, Godel's incompleteness theorem】

       如果一個包含整數理論的數學系統 T 是一致，則 T 不會是完備。

 於是，證明
              ┌──────────────────────┐
              │       一致性的代價就是失去完備性           │
              └──────────────────────┘

 Godel 的想法與 Russel 的理髮師悖論(Barber paradox)是類似的。Godel 這個不完備定
 理對 Hilbert 是一個致命的打擊。Hilbert 有個名言：

                        We must know. We will know.

但 Godel告訴我們：這是不可能實現的。我個人的看法是：真理遠遠超過數學家所能證明
的…致命的一擊：不能證明數學的一致性就表示了數學家極有可能在胡言亂語。

曙光：1940 年 (ＡＣ：選擇公設, ＧＣＨ：廣義連續統假設).

Godel 證明了
              ┌──────────────────────┐
              │         ＺＦ－ＡＣ－ＧＣＨ 是一致的        │
              └──────────────────────┘

這也是 plover 說的我們常用的系統是 ＺＦＣ (Ｃ 指選擇公設，關於選擇公設見後文，
ＺＦ 系統中的 Ｚ 與 Ｆ 指兩個數學家：Zermelo 與 Fraenkel).  Godel 並沒有排除
ＺＦ 系統可以證明 (廣義) 連續統假說或選擇公設，直到 1963 年數學家 Cohen 證明了
(力迫法 forcing method) 選擇公設與連續統假說都獨立於 ＺＦ系統。換言之，ＺＦ 系
統無法證明 (廣義) 連續統假說或者選擇公設。

Cohen 關於連續統假說的結果意味著或許存在一個集合其基數介於 χ_0 與 χ_1 之間，
但是我們對這種集合一點概念都沒有。

選擇公設的接受與不接受：

不接受的話：很多基礎問題都不能解了，像是函數的極值問題等。
接受了的話：會產生 Banach-Tarski paradox.(以現在來說，不能算是一個悖論了). 這個
paradox 蠻違背直覺的：

  一個棒球可利用切割使其經由平移與旋轉（而不改變其形狀)可以拼湊出一個地球!!!

相關這方面的資料還有蠻多的，上 wiki 百科查詢 Banach-Tarski paradox 即可。
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現在回到測度論上頭，有些人 (包含我) 都沒注意到 Royden 在他那本實分析裡頭的一個
NOTE. 之後為了資格考還特地整理了一下…以下是我當年準備的資料：

首先，讓我們想一想一個區間的長度該怎麼被適當的定義？一個正常的想法是定義成兩端
點之差的絕對值 (我們允許無窮大的可能性).

我們希望這樣的想法可以盡量處理更多不同的集合。首先我們處理開集合，而開集 G 可
被寫成可數多個區間 (disjoint) 的聯集。因此，只要我們定義開集的長度為這些區間的
長度之和，這開集長度的問題也就被解決。然而，面對其他更為一般的集合時，我們就會
遇到困難。我們滿心期待地希望存在一個集合函數 m 使得

(Ⅰ) 可以處理所有 |R 上的子集合。即 m 的定義域為 2^(|R).

(Ⅱ) 不能背離區間長度的定義，即 m(I) ＝ |I|. 此處 |I| 表示區間長度的定義。

(Ⅲ) 滿足可數可加性。

(Ⅳ) 滿足平移不變性。

打擊：Lebesgue 的測度理論告訴了我們不可能滿足上述所有條件～ 即 Lebesgue 測度理
      論告訴了我們：(Ⅱ), (Ⅲ), 且 (Ⅳ) 都成立，唯獨 (Ⅰ) 無法成立。也就是說，
      我們得弱化 (Ⅰ). 注意到一件事: 1970 年, Solovay 證實了不可測集的存在性與
      選擇公設等價。此外，我們還可以證明：將 |R^n 上的 Lebesgue 可測集收集起來
      為一族且稱為 Ｌ. 則 #(Ｌ) ＝ #(Ｎ), 其中Ｎ 表示不可測集合所形成之族。(這
      點並不難證). 如下圖：

                      □□□□□□□■■■■■■■
                      □□      □□■■■■■■■
                      □□  Ｌ  □□■■      ■■
                      □□      □□■■  Ｎ  ■■ ： 2^(|R^n)
                      □□□□□□□■■      ■■
                      □□□□□□□■■■■■■■
                      □□Ｂ□□□□■■■■■■■

那麼數學家們就會退而求其次，不要滿足 (Ⅳ). 能否有一集合函數滿足 (Ⅰ), (Ⅱ), 與
(Ⅲ). 畢竟我們很想處理集合越多越好。然而，只要我們加入了連續統假設，那麼 Ulam
又告訴了我們這夢想破滅。

If we assume the Continuum Hypothesis, then there does not exist a set function
m satisfying

(1) m:P(|R) → [0,＋∞].
(2) m(I) ＝ |I|.
(3) m is σ-additive.

To show that such m does not exist, we consider the following result（＊)：
(NOTE. This result is called "Ulam Theorem.")

If μ:P(|R)→[0,＋∞], μ((n,n＋1])＜∞, μ({x})＝0, and μ is σ-additive,
and if we assume the Continuum Hypothesis, then

                                μ≡0.

數學家們只好再退。由於 (Ⅱ) 絕對不能省，為了滿足 (Ⅰ), 則只能弱化 (Ⅲ) 去保留
(Ⅳ). 這一點就可以做到，基本上弱化 (Ⅲ) 有兩種途徑：

一種是所謂的 σ-subadditive, 即外測度理論。而另外一種是 finite-additive.

NOTE.

(1) 這裡倒是可以看一看之前 ppia 寫的相關文章。

(2) 最後 Ulam 定理可以在此書-Measure and Category by Oxtoby 找到。 [這本是劉豐
    哲教授推薦的書，他曾對我說：作分析學的，一定要看過這一本書。]
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推 ntust661    :!
推 THChieh     :推荐這篇文章
推 tsaihohan   :((跪拜
推 Lindemann   :跪拜+1  orz
推 smartlwj    :朝聖...娘子 快和牛魔王一起出來看math大大
推 Lindemann   :請問一下大大#(Ｌ)＝#(Ｎ)這圖涵義?還有證明在那可找
推 Lindemann   :還有請問m大有關連續統假設和Ulam這段您有推荐書嗎?
→ Lindemann   :我是好奇我們可以不加入連續統而討論(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)嗎?
→ tsaihohan   :順道問一下 那個圖下面B是代表什麼阿@@?
此處先回答 Lindemann 連續統假設 和 Ulam 定理這段：我在上文說過加入連續統假設沒
關係，因為 ＺＦ－ＡＣ－ＧＣＨ 是一致的。所以即使你不加入連續統而討論 (Ⅰ)、(Ⅱ)
與 (Ⅲ), 這樣意義也不太大。至於這方面的書可見 Measure and Category by Oxtoby.
此外，有兩點 (很像，但不相同) 是需要知道的。

藉由 Axiom of Choice, 我們可以得到下列之定理：

(Theorem) 存在一個不可數集合 X 賦予整序 ＜ 後有如下之性質：

          (i) 存在最後元素 (last element) Ω in X.

         (ii) 若 x in X, 且 x ≠ Ω, 則 {y in X: y ＜ x} 為可數集。

連續統假設 (Continuum Hypothesis) 等價於

存在一個整(良)序 ＜, 使得對於所有 x in |R, {y in X: y ＜ x} 為可數集。

--
此處接著回答 Lindemann 的提問：#(Ｌ)＝#(Ｎ), 這圖表示了

            可測集所成之族與不可測集所成之族是一樣多的…

因為我們往往只會處理可測集（像是開集，緊致集都是), 因此用感覺來說，會猜測：

                           #(Ｌ)＞#(Ｎ).

但事實並非如此。這個問題起源於清華程守慶教授於 2004 年實變課程中，有人提到 |R
上的不可測集所成之族比較多還是可測集所成之族比較多？為了回答這個問題，我們首先
瞭解一些事情：

(1) Cantor set 是測度為 0 的可測集且其基數為 c. 故 C 的所有子集皆為可測集。
(2) 顯然地，#(Ｌ) ≦ #(2^|R), 2^(|R) 為 |R 的所有子集合所成之族，即 power set.

藉由 (1) 可知 #(2^C) ≦ #(Ｌ), 而 #(2^C) ＝ 2^c.
再由 (2) 可知 #(Ｌ)  ≦ #(2^|R) ＝ 2^c.

因此，#(Ｌ) ＝ 2^c. 現在只要能證明 #(Ｎ) ＝ 2^c 即可，而這一點只需要證明

                             2^c  ≦ #(Ｎ).                         (＊)

為了證明 (＊）我們先回顧一下怎麼造出一個不可測集 (文末有更進一步的比較).

(定理) There exists a non-measurable set in |R.

定義一個等價關係，利用等價關係，我們做了分割。視 |R 為下面的串燒的 collection.

  0  x
  0  x     我們有無窮多個串燒。事實上，藉由 |R 為不可數集合，可知有 " 不可數個
  0  x     串燒 "。因為每一個串燒，都是可數個 (χ_0).
  .  .
  .  .

在每一個串燒中挑出一個 (選擇公理)，記成 P. P 將是不可測集合。換言之，我們每一
個串燒吃一個，我們吃掉了一個不可測集合。[串燒之說的理解方法是清華退休教授-陳璋
泡教的…據說，他上過 Royden 的課，Cohen 好像那時候也在那邊。]

於是，第一個串燒有 χ_0 的選擇，第二個串燒也有 χ_0 的選擇…即每一個串燒都有
χ_0 的選擇。於是，我們共有 (χ_0)^c 這麼多個選擇。換言之，我們至少已經擁有了
(χ_0)^c 個不可測集。根據基數的計算可知 (χ_0)^c ≧ 2^c. 因此我們證明了(＊).

NOTE. 在 |R^n 也是一樣的。因此，我才畫一個圖供我自己記憶：

                      □□□□□□□■■■■■■■
                      □□      □□■■■■■■■
                      □□  Ｌ  □□■■      ■■
                      □□      □□■■  Ｎ  ■■ ： 2^(|R^n)
                      □□□□□□□■■      ■■
                      □□□□□□□■■■■■■■
                      □□Ｂ□□□□■■■■■■■

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接下來回答 tsaihohan 的提問: Ｂ 表示 Borel sigma algebra. 我們可以證明

                              #(Ｂ) ＝ c.

有了這一點，我們就可以回答存在一個 Lebesgue 可測集但非 Borel set. (這是一個方
法). 不過大部分老師教學裡都會用另外一種方法來解釋 (利用 Homeomorphism),這一點
我就不多說了，有必要再談…

回到不可測集合造法的部分。以下只是一個比較，沒多大的意思…

在 1970 年，R. Solovay 發表在 Ann. of math 裡頭證明了：在 |R 上，

            ┌──────────────────────┐
            │      選擇公設等價於不可測集合的存在性      │
            └──────────────────────┘

現在我們將討論兩個大師級人物書中所給的造法，基本上還是脫離不了分割，但是各有各
的長處，且最終都會回到相同的結論：任何一個集合 A 其外測度為正，即 m*(A)＞0, 則
A 裡頭必藏有不可測子集。

           Zygmund                                  Royden
                                                             。
(1) 引進 Vitali Lemma.                     (1) 定義新的加法 x＋y.

NOTE. 這兩者都用到了 Lebesgue (外)測度的平移不變性。且在 Vitali Lemma 中我們
      也用到了測度的可數可加性。

(2) 將 |R 分割成為一堆等價類。             (2) 將 [0,1] 分割成一堆等價類。

NOTE. 不論是哪一個大師的作法，都作出了不可數個等價類。

(3) 在 |R 上玩。                           (3) 在 [0,1] 裡頭玩。

NOTE. 兩個大師都使用了選擇公設去證明不可測集合的存在性。

(4) 進一步地在 m*(A)＞0 上玩。             (4) 進一步地在 m*(A)＞0 上玩。

討論：就整體來看，較為不同的僅有一開始的考慮。Zygmund 使用了 Vitali lemma, 而
      Royden 用新的加法，但這兩個大師的考慮，還是不脫離 Lebesgue 外測度之平移
      不變性以及測度的可數可加性。

後記：在 Royden 的證明中，他僅用了兩個性質：

(a) Lebesgue 外測度之平移不變性。

(b) 測度的可數可加性。

因此，留心於 Royden 的證明，我們會有下面的定理：

命 m 是一個測度定義於一 σ-algebra Ａ 上且滿足平移不變性。若 P 落於 Ａ, 則
m([0,1)) 不是 0 就是 ∞.

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推 Lindemann   :太感動了T_T
推 Lindemann   :其實坦白說還是看不太懂orz
推 tsaihohan   :真的都懂的話應該就出師了吧@@
推 rogerli     :雖然很多不懂，但真的受益良多。
推 blackpaladin:同各位同好 就算不懂也受益良多呢！
推 hcsoso      :這篇幫助實在很大...雖然不完全懂，可是弄清楚了一些
推 snaredrum   :學長一出手果然是大作阿..
推 FernandoMath:也推一下Measure and Category by Oxtoby 此書
※ 編輯: math1209        來自: 114.32.219.116       (05/06 10:07)
推 nitero      :