Re: [中學] 什麼是矩陣？以及反方陣的問題？

[ppia (papayaPaul)]

※ 引述《kuogary1 (桂冠)》之銘言：
(恕刪)
: 3. 即使A、B都不是零矩陣，其乘積卻可能是零矩陣...???
: 除了舉例有辦法直接推嗎？
: 4. 有沒有可能AB=I但是BA卻不等於I呢？AB均是方陣
(恕刪)

以下內容可能超出原PO標題「中學」, 不過還是PO出來給大家參考。

    矩陣──尤其是方陣(行數=列數的矩陣)──的許多性質,用線性變換的角度來看
會清楚許多, 誠如euphrate版友所說, 一個方陣, 比如說3x3的方陣A,

                              ╭ a  b  c ╮
                          A = │ d  e  f │
                              ╰ g  h  i ╯
                     3
可以想成是三維空間 |R  = {(x,y,z)} 上的變換,

                                  A
               (x,y,z)    ───────→   (ax+by+cz, dx+ey+fz,gx+hy+iz)


    換言之, A本身可以想成是一個從|R^3作用到到|R^3的「函數」, 而I這個方陣對應到
的函數就是單位函數: I: (x,y,z) → (x,y,z)  什麼事都沒有作, 把(x,y,z)送回
(x,y,z)的函數, 因此原PO的問題就變成, 是否兩個函數f,g的合成f。g是單位函數,
就保證g。f也是單位函數, 或者說, 就保證g是f的反函數. 這件事對一般的函數當然不對,
比如說:

             ┌ (log|x|, y, z)  if x!=0                     x
f(x, y, z) = ┤                            ;  g(x,y,z) = ( e , y, z )
             └ (0, y, z)       if x =0

f(g(x,y,z)) = f。g(x,y,z) = (x,y,z) 但是 f(g(x,y,z)) = g。f(x,y,z) = (|x|,y,z)

如果用圖來看,
              ┌───────┐        ┌───────┐
              ∣              │    g   │              │
              ∣  (u,v,w)  ───────→  (x,y,z)    │
              ∣           ←───────             │
              ∣           ＿ │    f   │              │
              ∣         ▉╲ │        │              │
              ∣             ╲         │              │
              ∣               ╲       │         x > 0│
              ∣              │ ╲     ├───────┤
              ∣              │   ╲   │         x < 0│
              ∣              │     ╲ │              │
              ∣              │    f  ╲               │
              ∣              │         ╲             │
              ∣              │        │  (-x,y,z)    │
              │              │        │              │
              │              │        │              │
              └───────┘        └───────┘

f限制在g的像(image)上是一對一且映成(映滿|R^3), 但放到整個|R^3來看,
f便不是一對一了, 不難看出, 「f。g =id 且 g為映成函數」便保證g是f的反函數.

    那麼什麼樣的狀況可以在 f。g =id 的條件下就保證g是映成函數? 首先: 我們知道
g一定是一對一函數, 否則f。g不可能一對一. 如果D是一個有限集, 其中 g: D → D,
那麼我們知道g一定同時是映成函數, 但一般來說, 若D非有限集, 這件事就不一定對,
比如說:

            g: |N   ─→ |N                        f: |N ─→ N|

                n ├─→ n+1                        n+1├─→ n
                                                       1├─→1

回到方陣來看, |R^3並非有限集, 但另一個量──維度──卻是有限. 如果把B看成|R^3上
的函數, 那麼B不同於一般的函數, 它還會保存|R^3本身的線性結構:

      B會把任何一個|R^3的子空間映成一個子空間,
                               而任何一個子空間的preimage也會是子空間.

子空間指的是任何一個通過原點的線(一維)或面(二維)或|R^3本身(三維)或原點(零維;
嚴格來說是原點所成的集合), 這是因為B有以下的性質

                  B(x+x',y+y',z+z') = B(x,y,z) + B(x',y',z')
                        B(tx,ty,tz) = t B(z,y,z)

這兩個性質合稱線性, 滿足此條件的變換(映射, 函數)稱為線性變換. 而不難想像, 維
度不會無中生有, 所以經過應射後維度不會增加, 一條通過原點的線不可能映過去變成
面或者是|R^3, 但映過去以後維度可能會降低, 比如說

                              ╭ 1  4  7 ╮
                          B = │ 2  5  8 │
                              ╰ 3  6  9 ╯

B(x,y,z) = (x+4y+7z, 2x+5y+8z, 3x+8y+9z) = (x,2x,3x)+(7z,8z,9z)+(4y,5y,6y)

         = x(1,2,3)+z(7,8,9)+y/2(1+7,2+8,3+9) = (x+y/2)(1,2,3)+(z+y/2)(7,8,9)

所以A的像會是(1,2,3)和(7,8,9)這兩個向量張出來的平面, 注意到 B(1,-2,1) = (0,0,0)
因此通過原點, 以(1,-2,1)為方向的線, 在A的映射下變成原點一個點, 這也就是說,
B這個映射損失了一個維度, 導致它的像只剩二維, 這也就是維度定理:

                    rank A + kernaliy A = dim V

的意涵. 如果接受這點的話, 那麼當A是一對一時, A的像也必須是三維, 因此A映成.
同樣地, 這件事推廣到無限維就不成立, 比如說

                 |N        |N                           |N       |N
            g: |R   ─→ |R                        f: |R  ─→ |R

      (a1,a2,...) ├─→ (0,a1,a2,...)    (a1,a2,a3,...)├─→ (a2,a3,...)


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