數學家漢密爾頓致信丘成桐的律師Howard M Cooper
親愛的Cooper先生﹕
《紐約客》雜志以不公平的方式描寫了丘成桐﹐我對此深感不安。我在此寫
出我的想法﹐以正視聽。如果這能對丘有什麼幫助的話﹐我授權你把這封信提供
給《紐約客》雜志和公眾。
20 世紀80年代早期﹐當我的第一篇關於正Ricci曲率的三維流形的Ricci流
的論文完成之後不久﹐丘立刻認識到了它的重要性。盡管我証明了他那時正在研
究的最小曲面的一個結果﹐他並沒有表現出絲毫的嫉妒﹐而是成為了我的最堅定
的支持者。當時他向我指出Ricci 流可以形成neck pinch奇點﹐解開connected
sum decomposition﹐這可能導致龐加萊猜想的証明。1985年﹐他把我、Rick
Schoen 和Gerhard Huisken一起帶到了加州大學聖地亞哥分校﹐我們組成了一個
非常令人興奮而多產的幾何分析研究組。Huisken當時正在研究超曲面的平均曲
率流﹐它非常類似於Ricci流。平均曲率流和Ricci流分別是外曲率和內曲率的最
簡單的流。丘不斷敦促我們研究這些拋物面方程奇點的blow-up﹐使用與研究類
橢圓方程的最小曲面方程類似的方法。而丘和Rick是這方面的專家。沒有丘在這
個早期階段的指導和支持﹐就不可能有供Perelman完成的 Ricci流的研究綱要。
在加州大學聖地亞哥分校﹐丘還有一些非常優秀的學生﹐這些學生是和他一
起從普林斯頓來的﹐特別是曹懷東、周培能和施皖雄。丘鼓勵他們研究Ricci流﹐
他們都對這個領域做出了非常重要的貢獻。曹懷東証明了規范Kaehler情況下的
正規化Ricci流總是存在﹐且收斂於零或負陳示性類。曹的結果成為了Perelman
關於Kaehler Ricci流的令人興奮的研究的基礎﹐Perelman証明了對於正陳示性
類﹐直徑和標量曲率是有界的。周培能除了在其他的流方面做出了卓越的貢獻外﹐
他還把我的關於二維球面Ricci流的工作擴展到了不同符號的曲率的情況下。施
皖雄開創了完備非緊流形的Ricci流的工作。除了許多漂亮的論証﹐他還証明了
Ricci流的局部導數估計。奇點的blow-up常常產生非緊的解﹐而關於收斂到
blow-up極限的証明總是依賴於施的導數估計。因此施的工作對於 Perelman和我
使用的所有極限論証都至關重要。
1982年﹐丘成桐和李偉光撰寫了一篇極其重要的論文﹐為線性熱方程提出了
一個逐點微分不等式﹐它可以沿曲線積分﹐給出經典的Harnack不等式。丘不斷
敦促我研究這篇論文﹐根據他們的方法﹐我証明了Ricci流和平均曲率流的
Harnack不等式。由李-丘的研究一般化而得到Harnack不等式﹐構成了我所開始
研究的ancient solutions的基礎﹐Perelman完成了它們﹐並把它們作為他的規
范鄰域定理的一個基本工具。曹懷東証明了Kahler情況下Ricci流的 Harnack估
計﹐而施皖雄對Yamabe流和高斯曲率流做出了同樣的証明。
但是這個故事還沒有完。Perelman最重要的成果是他的關於Ricci流非塌陷
的結果﹐這在所有的維度都成立﹐而不僅僅是在三維情況成立。它對未來的重要
性遠遠超過了龐加萊猜想。對於龐加萊猜想﹐它是消除 cigars奇點的工具﹐而
我無法消除這類奇點。這個結果有兩個証明﹐一個是使用逆向標量熱方程的熵﹐
另外一個方法是使用路徑積分。熵估計來自對共軛熱方程做李-丘型微分Harnack
不等式的積分﹐另一個是對同樣的Harnack不等式做最優李-丘路徑積分。正如
Perelman在他的第一篇論文7.4 中承認的﹐他寫道﹕“一個更接近的參考是[李-
丘]﹐他們使用“長度”與線性拋物面方程關聯﹐這與我們的這個問題非常相
同”。
多年來﹐丘一直支持Ricci流和整個幾何流領域的研究﹐在這個領域還有其
他重要的成果﹐例如最近Huisken 和Ilmanen証明了彭羅斯猜想﹐這是廣義相對
論領域的一個非常重要的結果。除了丘成桐﹐我無法想象還有其他任何著名的數
學權威會對我們的研究領域給予密切的支持。
丘成桐建立的是一群天才的群體﹐而不是一個權力帝國。人們被他的精力、
他的超群思想以及他對一流數學的不懈支持所吸引。丘成桐把他們集合在一起﹐
共同研究最困難的問題。在過去的許多年中﹐丘和我花了無數時間一起研究
Ricci流和其他問題﹐常常工作到深夜。從觀察到neck pinch奇點問題開始﹐他
總是慷慨地與我分享他的建議﹐但是從未要求分享榮譽。
事實上﹐當去年冬天我最終努力証明了Ricci流的一個局部型Harnack不等式
的時候──我們一起研究這個問題已經很多年了──我說我應該把他的名字加在
論文上﹐他謙虛地拒絕了。（《紐約客》）這樣嚴重地歪曲他的人格﹐這真是不
幸。據我所知﹐他從未提出關於（解決龐加萊猜想的功勞的）百分比﹐他也沒說
過Perelman應該隻與我分享（解決）龐加萊猜想的榮譽。這是合情合理的﹐因為
事實上除了Perelman本人﹐沒有任何人比他更加慷慨地歸功於我的工作。丘成桐
根本沒有偷竊Perelman的成果﹐正相反﹐他讚揚了Perelman的工作﹐並與我一起
支持Perelman獲得菲爾茨獎。Perelman借助Ricci流的研究綱要獲得了菲爾茨獎﹐
而事實上﹐丘成桐正是建立這一綱要的人。
謹啟
Richard S Hamilton
哥倫比亞大學數學教授
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