[線代] 考研究所的考古題

[baoxiaole (小花)]

對的證明錯的舉反例:



對所有的m*n階矩陣A  B=A的轉置矩陣

則 rank(BA)=rank(AB)


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這題毫無頭緒= =

結果試了很多個例子

都是對的

但是證明又卡卡的

因為一邊是m*m階矩陣 另外一邊卻是n*n階矩陣

有版友能給提示嗎!

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◆ From: 60.244.250.32
→ perturb     :証明 rank(BA)=rank(A) 即可
推 JocularYeh  :[1 i]
→ perturb     :復數域討論這個問題， 轉置應該是共軛轉置
→ baoxiaole   :抱歉我算一算還是有點卡住..rank(A)包含rank(BA) OK
→ baoxiaole   :但是另外一邊就證不太出來!
→ anikishawn  :你可以從ker(A)=ker(AB)下手
→ anikishawn  :把A看做某個線性轉換從F_n→F_m的左乘矩陣
→ anikishawn  :n是定義域的維度
→ yhliu       :設 rank(A)=r, 存在一個 n 階可逆方陣 P 使 AP 前 r
→ yhliu       :行線性獨立而後 n-r 行均為 0.
→ yhliu       :rank(A'A)=rank(P'A'AP) 而 P'A'AP 之左上角為 r 階
→ yhliu       :可逆方陣, 其餘元素皆 0. 故 rank(P'A'AP)=r.
→ JocularYeh  :consider a vector x in R^n  x^t.A^t.A.x !=0 iff
→ JocularYeh  :A.x!=0 , hence A^t.A.x=0 iff A.x=0