[線代]矩陣運算

[amojoy (momomo)]

Let A ba an m by n matrix with m<n.
Show that det(A^tA)=0

A^t為A的轉置。


我一開始是想到...

A^tA為一個n by n的方陣

其rank 小於或等於 n

而A的rank 小於或等於 m

接下來就不知道怎麼去算了ˊˋ...

因為我想既然行列式值為零
表示此矩陣不可逆

其rank必不為滿秩...

但是想不到如何得證rank(A^tA)<n

請各位教教小弟!!

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◆ From: 61.227.198.72
→ Sfly        :rank(A^tA)<=rank(A)<=m
→ amojoy      :請問為什麼rank(A^tA)<=rank(A)?
→ JocularYeh  :看成兩次線性映射 f:x-->Ax  g:x-->A^tx
推 physicist512:Since rank(A^tA)<=rank(A^t) and <=rank(A)
→ physicist512:(theorem) rank(A^t)=rank(A)<=m    (m<n)
→ physicist512:so rank(A^tA)<=rank(A)=rank(A^t)<=m"<"n iff
→ physicist512:det(A^tA)=0.