推 maydayai :感謝~~這我可能要研究好一陣子XD 12/27 18:38
※ 引述《maydayai ()》之銘言：
: 想再問兩題積分~
: 感覺是相似的概念
: 不過不曉得怎麼積
: 先謝謝解答了~~
: =================================
: (1)
: dx
: ∫——— = 已解決 by 精華區
: 4
: x + 1
: =================================
: (2)
: dx
: ∫——— = ??
: 6
: x + 64
: =================================
(2)
偷用一下精華區的解法
3(x^4 + m^4)
考慮 A = ∫ ────── dx (m>0)
x^6 + m^6
(x^2 + m^2)^2 + 2[x^4 - (mx)^2 + m^4]
= ∫ ─────────────────── dx
(x^2 + m^2)[x^4 - (mx)^2 + m^4]
x^2 + m^2 2
= ∫ ───────── dx + ∫ ───── dx
x^4 - (mx)^2 + m^4 x^2 + m^2
1/m^2 + 1/x^2 2 -1 x
= ∫ ─────────── dx + ──tan (──)
(x/m)^2 - 1 + (m/x)^2 m m
( 令 u = x/m - m/x )
1/m 2 -1 x
= ∫ ────── du + ──tan (──)
(u-1)^2 + 1 m m
1 -1 2 -1 x
= ──tan (u-1) + ──tan (──) + CA
m m m
x^4 - m^4
B = ∫ ───── dx
x^6 + m^6
x^2 - m^2
= ∫ ────────── dx
x^4 - (mx)^2 + m^4
( 令 v = x/m + m/x )
1/m
= ∫ ────── dv
(v+1)^2 - 3
-1 -1 v+1
= ── tanh (───) + CB
m√3 √3
所以
1
∫ ───── dx
x^6 + m^6
1 A
= ───( ── - B )
2m^4 3
1 -1 x -1 -1 v+1
= ───[ 2tan (──) + tan (u-1) + √3*tanh (──)] + C
6m^5 m √3
with ┌ u = x/m - m/x
└ v = x/m + m/x
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