Re: [中學] 不等式一題

[sulanpa (...)]

※ 引述《freePrester (Prester)》之銘言：
:                     2    2    2
: 已知 x,y,z > 0 且  x  + y  + z  = 1
:       xy     yz     zx
: 試求 ---- + ---- + ---- 的最小值
:       z      x      y
: 我知道答案是 √3 ，但我不知道要怎麼推出結論。
: 還請各位賜教。

(i)

(x^2 + y^2 + z^2)/3 = 1/3 ≧ (xyz)^(2/3)

=> (1/3)^(1/2) ≧ (xyz)^(1/3)

"="成立時

x^2 = y^2 = z^2 = 1/3

(ii)

[(xy/z)+(yz/x)+(zx/y)]/3 ≧ (xyz)^(1/3)

"="成立時

xy/z = yz/x = zx/y

=> x^2 = y^2 = z^2


由(i)(ii)可知

Min[(xy/z)+(yz/x)+(zx/y)] = 3*(1/3)^(1/2)

=> Min[(xy/z)+(yz/x)+(zx/y)] = sqrt[3]

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.66.158
推 lakb        :第一個=成立時，應該是X^2=Y^2=Z^2,且X^2+Y^2+Z^2=1
→ lakb        :所以x^2=y^2=z^2=1/3，x=y=z=1/sqrt[3]吧?
感謝
※ 編輯: sulanpa         來自: 140.113.66.158       (12/29 08:53)
推 freePrester :感謝你
→ G41271      :錯啦 最好隨便用個科西算幾就算得證
→ G41271      :A=(x^2+y^2+z^2)/3,B=(xyz)^(1/3),C=xy/z+yz/x+zx/y
→ G41271      :(1)知A>=B,(2)知C>=B,所以C>=A???
"="成立時

(i) (ii) 條件相同

(xy/z)+(yz/x)+(zx/y)/3 = (1/3)^(1/2) = (xyz)^(1/3)
※ 編輯: sulanpa         來自: 140.113.66.158       (12/29 12:19)
→ suhorng     :之前有想過這樣,但是怪怪的...
→ a88241050   :條件相同不代表(xy/z)+(yz/x)+(zx/y)的最小值就是√3
→ a88241050   :(i)"="成立時,(xyz)^(1/3)的最"大"值=(1/3)^(1/2)
→ a88241050   :(ii)"="成立時,[(xy/z)+(yz/x)+(zx/y)]/3的最小值=
→ a88241050   :(xyz)^(1/3),但此時的(xyz)^(1/3)不能確保是最小值
→ a016258     :推樓上~~~ 覺得怪怪 但是不知道怎麼解釋~XD