Re: [中學] 請問一題數學歸納法

[GameKnight (約定好的休息)]

※ 引述《yusd24 (阿鄉)》之銘言：
: ※ 引述《eqcolouring (123)》之銘言：
: : 證明:n^5+5n^4+5n^3-5n^2-6n必為120的倍數
: : 當n=1時,0=120*0成立
: : 假設當n=k時成立
: : 則n=k+1...這邊我就遇到困難了
: : 真的要把式子全部打開然後再整理嗎?
: : 是否有較佳的方法來證明這個敘述?(不用數學歸納法的方法也可)
: : 謝謝!
: 原式 = (n-1)(n)(n+1)(n+2)(n+3) = A
: 五個連續整數一定有 5 的倍數，裡面一定也有 3 的倍數
: 這五個裡面至少有兩個是偶數，一個是 4 的倍數
: 所以 A 是 8 的倍數
: 故 A 是 3, 5, 8 的倍數，又兩兩互質，所以 A 是 3x5x8=120 的倍數
若要用數學歸納法

應該這樣寫
1. 當n=1時,0=120*0成立
2. 假設當n=k(k任意正整數)時原題成立,
   即k^5+5k^4+5k^3-5k^2-6k = 120t (t為任意整數)
   可推得n = k+1時
             (k+1)^5            +       5(k+1)^4              + 5(k+1)^3
           - 5(k+1)^2           - 6(k+1)

  = (k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1) + 5(k^4+4k^3+6k^2+4k+1) + 5(k^3+3k^2+3k+1)
           - 5(k^2+2k+1)        - 6(k+1)

  = k^5+5k^4+5k^3-5k^2-6k
    +[ (5k^4+10k^3+10k^2+5k+1) +5(4k^3+6k^2+4k+1)+5(3k^2+3k+1)-5(2k+1)-6 ]
  = 120t + (5k^4+30k^3+55k^2+30k)
  = 120t + 5k(k^3+6k^2+11k+6)
  = 120t + 5k(k+1)(k+2)(k+3)  <--顯然連續四數相乘為24的倍數
  = 120t +120s (s為任意整數)
  = 120(t+s) 亦為 120的倍數
所以由數學歸納法得証對任意正整數 n, k^5+5k^4+5k^3-5k^2-6k必為120的倍數 #

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◆ From: 203.64.161.123
※ 編輯: GameKnight      來自: 203.64.161.123       (12/30 12:25)
推 ejialan     :這裡你把連續4數相乘為24的倍數視為已知 如果'只'能
→ ejialan     :用數學歸納法 這題做完應該非常快樂
→ GameKnight  :數歸法的重點在於 必須使用n=k時的條件 即為數歸法
推 mickeyjan   :e大的意思應該是，怎麼知道"連續4數相乘為24的倍數"
→ mickeyjan   :這件事情是顯然呢?　如果要證明它且還要用數學歸納法
→ mickeyjan   :那還得要再寫一段，所以才說做完應該非常快樂XDDD
推 ejialan     :恩 我的意思就是樓上那樣 後面還有連續3數和連續2數
→ ejialan     :覺得只用數學歸納法證很有趣
推 eqcolouring :謝謝您的回答!這一題用數學歸納法可能會辛苦了點^^"
→ GameKnight  :連續四數恰有兩偶數且其中有一個是4的倍數
→ GameKnight  :連續三數至少有一個3的倍數