Re: [中學] 證明二次方程式有兩正實根

[SJOKER (高斯教授)]

※ 引述《Liuying (流螢)》之銘言：
:   題目出處：94年師大數學推甄筆試
:   設a, b, c是滿足 0<a,b,c<_ 1/4 的三個常數。試證：二次方程式
:   c(1-b)x^2 -(1-a-b-c+2bc)x+b(1-c)=0 的根都是正實數。
:   請幫忙想一下吧~

                (1-a-b-c+2bc)
    兩根之和 = --------------- > 0 (從題目已知很容易檢驗這是對的)
                   c(1-b)

                 b(1-c)
    兩根乘積 = ---------- > 0 (同上)
                 c(1-b)

    判別式 = (1-a-b-c+2bc)^2 - 4bc(1-b-c+bc)

    令k = 1-b-c+bc , 上式 = [k - (a-bc)]^2 - 4bck

                          = k^2 - 2ak + 2bck + (a-bc)^2 - 4bck

                          = k^2 - 2(a+bc)k + (a+bc)^2 - 4abc (配方)

                          = (k - a - bc)^2 - 4abc

                          = (1-a-b-c)^2 - 4abc (將k還原)

    不難發現因為 (1-a-b-c)^2 ≧ 1/16 , 4abc ≦ 1/16 , 使得判別式 ≧ 0

    於是此方程式兩根皆為正實數


    僅供參考,有錯尚請不吝指正


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◆ From: 140.109.90.101
推 Liuying     :thanks