推 doom8199 :Σ [S(n,k)*k!] for n=1 to n 01/05 14:13
→ doom8199 :其中 S(n,k)為 Stirling numbers of the second kind 01/05 14:14
※ 引述《kzvito (HOW)》之銘言：
: Q: 今天有九名跑者，跑到終點以後記錄他們的名次。
: 已知同名次有可能不止一人(如兩個第二名，甚至大家都跑一樣快就九個第一)，
: 若不同人得到相同名次仍算另一種組合，
: 在合理的名次組合下(所以不會有九個第五名，或是沒有第一名等等的情況)，
: 會有多少種組合呢？
: 因為原po在寫程式，
: 跑的式子大致上可以舉這樣的比喻，
: 目前原po想到一個一個算，
: 但是連這種方法我都不會有條理地算 T^T
: 所以主要倒不是想知道答案，而是想請問便於運算的原理
: <(_ _)>
: 感謝大家
我想先用比較少人來看.
設有 4人, 其可能情形:
4人同名次 --> 並列名次: 1 --> 可能數 1
3人 --> 1,2 --> 2*C(4,3)*1 = 8
2人+2人 --> (1,3) --> C(4,2) = 6
2人 --> 1,2,3 --> 3*C(4,2)*2! = 36
無同名次 --> --> 4! = 24
總可能數: 1+8+6+36+24 = 75.
以上方法是:
先看有哪些同名次組合(不論名次, 更不與人連結), 而後
每一種同名次組合考慮名次組合數, 再乘以把人安排到各
名次的排列數.
例如: 2+2 只有一種名次組合(1,1,3,3), 4人被安排到這
樣的組合的排列數是 C(4,2).
又如: 2+1+1 表示恰有兩人同名次, 而同名次可能發生在
第1,2,3名, 其中每一種名次組合, 4人被安排上各名次的
排列數是 C(4,2)*2!, 即先選出同名次兩人, 而後剩下兩
人安排到兩不同名次.
有9人情況, 同名次組合即是 9 這數字的各種正整數分割:
9 = 9 = 8+1 = 7+2
= 7+1+1 = 6+3 = 6+2+1
= 6+1+1+1 = 5+4 = 5+3+1
= 5+2+2 = 5+2+1+1 = 5+1+1+1
= 4+4+1 = 4+3+2 = 4+3+1+1
= 4+2+2+1 = 4+2+1+1+1 = 4+1+1+1+1+1
= 3+3+3 = 3+3+2+1 = 3+3+1+1+1
= 3+2+2+2 = 3+2+2+1+1 = 3+2+1+1+1+1
= 3+1+1+1+1+1+1 = 2+2+2+2+1 = 2+2+2+1+1+1
= 2+2+1+1+1+1+1 = 2+1+1+1+1+1+1+1 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1
共30種. 我想不出一般式. 不過, 版上諸高手想出通式後
不妨先以比較少人的情形代入驗證看看, 否則怎知結果正
確與否?
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