Re: [微積] 我最不會算這種重積分了...

[yclinpa (薇楷的爹)]

※ 引述《bineapple (パイナップル)》之銘言：
: 這是日本京都大學的研究所入學考題之一
: ∫∫√(a^2-x^2-xy-y^2)dxdy
:    D
: D={(x,y) | x^2+xy+y^2 <= a^2}, a>0
: 應該要用變數代換吧
: 可是我又不知該怎麼找出那個u和v
: 有人可以提示一下嗎?? 謝謝~

令 u = (x-y)/√2,  v = (x+y)/ √2  (orthogonal transformation)
則 dx dy = du dv,
x^2 + xy + y^2 = (1/2) u^2 + (3/2) v^2
(這裡用的是 bilinear form 的對角化)

再令 u = √2 * r * cos t,  v = √2/√3 * r * sin t
此時 du dv = 2/√3 r dr dt (直接算 Jacobian)

原積分成為
 2π a
∫  ∫ √(a^2 - r^2) * 2 / √3 * r dr dt = (4 √3)/9 * π * a^3.  Done.
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威探闖通關　羅傑兔寶寶

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.122.140.53
推 bineapple   :十分感謝!! 想請問是知道要用這組u和v的呢??
推 ppia        :積分的區域是個橢圓內部.第一次座標變換就是把
→ ppia        :兩軸旋轉到長短軸 第二次座標變換就是伸縮長短軸
→ ppia        :把橢圓變成圓 最後再用極座標
推 bineapple   :原來如此 要從integrand和domain來判斷 THX!!
推 newversion  :orthogonal transformation 沒學過，哪本微積分書有
→ newversion  :介紹？
→ yclinpa     :線性代數的東西，請看 bilinear form 那邊
推 newversion  :以為初微有教 ，查wiki也是查到線代
推 jimmy780331 :原PO教授大推)))))))))))))))))))))