[微積] 收斂性與極限值

[znmkhxrw (QQ)]

大一上初微時  老師給我們以下定義：

Definition：a_n is convergent to S

            if for all ε>0, there exists Nε>0,

            s.t. when n >= Nε, we have │a_n - S│< ε

Moreover, we write "a_n is convergent to S"  into   lim  a_n = S
                                                   n→∞

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問題：

  如果一道題目要我們證a_n是否收斂，我們可以取lim值嗎？

  意思是 像是請證明1/n 是收斂的

  我們可以說 因為 lim  1/n = 0 , 極限值存在  所以他收斂
                 n→∞

  這我感覺怪怪的  感覺邏輯有誤

  (一) 怎麼知道極限值是0？(如果前提是有極限值，那當然收斂(by defition))

  (二) 要先證明收斂才能取lim 這句話有問題嗎？

       感覺這好像是if and only if 的定義阿= =

       有lim值就能說他收斂了(定義)

       可是你怎麼知道你的limit值是對的(回到(一))

       可是像是 a_n = (-1)^n

       我們可以寫成 a_n=(-1)a_(n-1)

       假設你同取lim

       變成 S=-S → S=0

       解出極限值等於0..可是a_n根本不收斂

       這就是一個 "要先證明收斂才能取lim" 的範例了

       可是這邊又有一個問題，我確實解出了limit值=0，你怎麼知道這是錯的

       你可能會說因為│a_n│= 1 for all n

       可是以邏輯的觀點  記然是iff

       我們有"如果收斂則limit值存在" 且"如果limit值存在則收斂"

       那為什麼它存在limit=0(解出來的)  卻不收斂

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希望有神人能看得懂我的問題= =  表達不是很清楚@@"

因為感覺

limit存在 iff

收斂 iff

if for all ε>0, there exists Nε>0,

            s.t. when n >= Nε, we have │a_n - S│< ε


這三者是一樣強的

為啥會有"要先證明收斂才能取lim"這句話(這句話感覺lim條件比收斂嚴苛)


謝謝~

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◆ From: 111.243.146.113
→ mzhrqoc01   :limit指的不就是S嗎，所以找得到limit就是收斂
→ mzhrqoc01   :但是在不確定有沒有這樣的S的時候，要給出S，要先說
→ mzhrqoc01   :明S存在，即證明收斂
→ mzhrqoc01   :我又想了一下，覺得limit條件好像比收斂嚴苛
→ mzhrqoc01   :因為取limit要求你確定收斂，而且知道S
→ mzhrqoc01   :但收斂不一定需要知道S
→ mzhrqoc01   :好像又沒有說清楚，我是說寫出 lim An = m 要求
→ mzhrqoc01   :An收斂到某個數S，且S等於m，但是An收斂不需要你知道
→ mzhrqoc01   :那個某數S是多少
→ znmkhxrw    :"a_n收斂"跟"a_n收斂到S"不是一樣的嗎 收斂必有值阿
→ josh28      :有時候那個S很難算阿XD
推 jacky7987   :應該說 lim(n->inf) 1/n=0 是因為你可用定義證明出來
→ znmkhxrw    :所以要扯到不用知道S的Chauchy Criterion？
→ jacky7987   :|1/n-0|<ε 然後我們把它記成lim(n->inf)1/n=0
→ mzhrqoc01   :我試著舉一個例子有一個數列a_n, a_1=1,a_n>=2*a_n-1
→ mzhrqoc01   :級數Σ（1/a_n）遞增，且有上界=2，這些條件就可以說
→ mzhrqoc01   :明這個級數Bn收斂，但Bn是多少卻不能決定吧
→ mzhrqoc01   :這是我剛剛想出來的，不知道好不好