推 abuu0929 :感謝!y大回答的很清楚，這題是老師給的，我也覺得 01/07 08:56
→ abuu0929 :條件根本就太少，但他要這麼問也沒辦法XD 01/07 08:56
※ 引述《abuu0929 (abuu)》之銘言：
: 以"是非題"做為考題(只有"O"跟"X"兩種選項)
: 如果想要知道學生是否純粹用猜題的方式作答
: 那麼至少要出幾題才能做出上述判斷??
: 已經知道答案是6題
: 但是不知道是怎麼解出來的
: 不知道有無高手能解答呢?
6 題足以判斷學生是否用猜想作答?
這問題不是那麼簡單的, 必須有些假設, 再做些設定.
假設:
1. 各題目可以認為是獨立的.
2. 各題目是相同難度的.
3. 正確答案並無任何 pattern.
上列假設在實際上可能與事實不符. 例如假設 2, 在實務
上題目可能有難有易, 整份試卷會適當分配難易. 又如假
設 3, 實務上可能分配一半 O 一半 X, 但也可能一邊倒.
而如果有任何 pattern, 用 "猜" 作答可能有利有不利.
其次, 要有些設定. 亂猜每一題有 1/2 的機會. 假設有n
個題目, 在基本假設下相當於 binomial(n, 1/2) 的分布.
而 "非亂猜" 的, 答對率應超過 1/2. 於是, 我們必須設
定:
(1) 當答對率 p=1/2(表示學生亂猜), 允許多少錯誤判定
學生不是亂猜的機率?
(2) 在甚麼情況 (p 的值是多少) 考慮把一個認真矩答的
誤判為亂猜的機率?
(3) 前項中的允許誤判機率是多少?
假設我們設定 (1) 是 0.05, 這是統計假說檢定所謂顯著
水準, 也就是允許發生型一錯誤之機率上限.
假設我們在 p=0.8 時考慮發生型二錯誤之機率(即: 認真
作答誤判為亂猜), 並假設這項錯誤機率最多允許 0.1.
也就是說, 考慮下列二項比例之檢定:
H0: p=1/2 against Ha: p>1/2
而允許
P[reject H0; p=0.5] ≦ 0.05
P[not reject H0; p=0.8] ≦ 0.1
以常態分布近似二項分布以利計算, 則
X-(n/2)
------------- > 1.645 時 reject H0
√[np(1-p)]
檢定 H0: p=0.5 時取 p=0.5, 故
reject H0 if and only if X>(n/2)+1.645√n/2.
當 p=0.8 時,
P[not reject H0; p=0.8]
= P[X≦(n/2+0.8225√n); p=0.8]
≒ Φ((0.5n+0.8225√n-0.8n)/√[n(0.8)(0.2)])
≦ 0.1
故
(0.5n+0.8225√n-0.8n)/√[n(0.8)(0.2)] ≦ -1.28
即 -0.75√n+2.056≦-1.28. 故
n≧[(2.056+1.28)/0.75]^2 = 19.8
在以上設定下, 要20題.
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