Re: [幾何] 請問Riemann curvature的推導

[WINDHEAD (Grothendieck吹頭)]

※ 引述《kuromu (kuromu)》之銘言：
: Riemann curvature tensor 的兩種求法
: 一種是從
:          μ             μ     μ     ν
: ▽  ▽  V   - ▽  ▽   V    = R      V
:  α  β         β  α         ναβ
: 另外一種是從
: parallel transport 一圈看變化
: 想請問一下  這兩種方法的等價的原因是什麼
: 非常感謝<(_  _)>

你拿著 μ

先沿著  α 方向出發走(parallel transport) t秒

再沿著  β 方向走 s秒

再沿著 -α 方向走 t 秒

再沿著 -β 方向走 s 秒

然後跟原來的μ相減之後, 再除以 ts

這個動作叫做 Rμ , 也就是右手邊的形式。


那如果用求導數的方式來做

  B^-1 A^-1 B A 這種東西 求導 (A,B分別是沿著向量場 α,β的平移)

就會得到     -αβ+  βα 這種東西 (算一下就知)

就降

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◆ From: 24.12.185.67
→ kuromu      :謝謝