Re: [微積] 一題級數斂散性的題目

[LimSinE (r=e^theta)]

※ 引述《liltwnboiz (TCL)》之銘言：
: Test for conditional and absolute convergence of
:    ∞      (-1)^n
:    Σ  ───────, p＞0
:    n=2  n^p + (-1)^n
: 小弟嘗試用 Leibniz's Test 測試它是否收斂
: 再掛上絕對值去測它的absolute/conditional convergence
: 可是在第一步就遇到麻煩
: Leibniz Test 沒辦法保證對於任意 p > 0, 第n+1項一定小於等於第n項
: 請高手解救 感謝 ><

這題是很經典的陷阱題
雖然顯然p>1 <=> 級數絕對收斂，但是0<p<=1時Leibniz test很誘人
卻註定要失敗
因為此時，序列{n^p}其實會越來越靠近，甚至相鄰兩項的差→0
到那時，分母(-1)^n的干擾就很大了

那怎麼辦呢？
考慮 Sigma(n=2, 無限大) (-1)^n / [n^p - 1]
這個級數沒有上述的問題，可用Leibniz test 證明收斂
而這兩個級數的差，是正項級數
Sigma(k=1,無限大) 1/((2k)^p-1) - 1/ ((2k)^p+1)
=
Sigma(k=1,無限大) 2/[(2k)^p-1][(2k)^p+1]
和級數 Sigma 1/k^2p 比較為同斂散
發現在0<p<=1/2時發散, p>1/2時收斂。


0<p<=1/2時，原級數=收斂 + 發散 = 發散
p> 1/2 時，原級數=收斂 +收斂 = 收斂

結論：
p>1：絕對收斂、0<p<=1/2：發散、1/2<p<=1 條件收斂

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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.62.110.205
推 liltwnboiz  :感謝 Orz  ><  借轉
推 liltwnboiz  :可是我算出來是2/((2k)^2p -1) ? >///<
推 liltwnboiz  :還是不行阿
推 kennyli     :Σ2/((2k)^2p -1)可以用∫1/(2x)^2p dx檢驗吧
→ liltwnboiz  :所以這樣就會變成 p<1/2發散 1/2<p<1 條件收斂???
※ 編輯: LimSinE         來自: 61.62.4.46           (01/08 16:44)