Re: [幾何] 請問Riemann curvature的推導

[Babbage (驕傲體現於健忘)]

※ 引述《kuromu (kuromu)》之銘言：
: Riemann curvature tensor 的兩種求法
: 一種是從
:          μ             μ     μ     ν
: ▽  ▽  V   - ▽  ▽   V    = R      V
:  α  β         β  α         ναβ
: 另外一種是從
: parallel transport 一圈看變化
: 想請問一下  這兩種方法的等價的原因是什麼
: 非常感謝<(_  _)>

首先要知道的觀念是"曲率完全是來自於connection"

給一個(拓樸)流形上任意兩點, 他們之間只會有拓樸上的關聯,
在這兩點上你可以各別定義切空間, 他們各自是一個向量空間,
這兩個切空間一點關聯都沒有.

你可以在任兩點的向量空間上指定一種對應關係, 也就是connection,
這樣就使得微分成為可能. 因為微分就是一種比較,
我們想要比較:當兩個向量場同時靠近一個點時, 他們的差異是多少.
 [就像微積分裡面, 當x趨近於a時, 我們想知道f(x)和f(a)差多少.
  在微積分裡面, f(x)和f(a)如果都是實數, 那麼兩者之間的距離就可
  以用實數的減法來測量. 在我們這裡, 必須將一個向量(透過connection)
  指定到另一個向量所在的向量空間中, 兩向量的距離才能被測量.]
所謂平行移動, 就是指"把向量藉由connection拉回"的這個動作.

以下我們考慮黎曼流形與Levi-Civita connection.
也就是說在剛剛的流形上的每一點的切空間定義一個內積,
使其光滑地依賴於點的變化.
在這種情況下, 可以證明存在一種好的connection(稱為LC),
使得平行移動之後向量長度和夾角被保持.
(夾角是指"被移動的向量"與"所沿著的測地線之切向量"之間的夾角.)

在雙變數微積分中, 只要函數f(x,y)夠好, 則偏微分順序是可以交換的.
用平行移動所定義出來的微分, 是否也滿足同樣的性質呢?
答案是: 這和曲面本身有關(如果是像微積分中的xy-平面, 則可以交換.)
        更精確地說, 交換微分之後會多一個差異項, 這一項和曲面的曲率有關.

回到你的問題,
從曲率的符號定義來看, 曲率是微分交換之後的差.
從平行移動來看, 先沿著哪一條線(trajectory of some coordinate
function)移動就是先對哪一個變數微分.
而繞一圈的意思是: 從出發點走到對頂點有兩種走法, 代表不同微分順序.
(想像從左下走到右上, 可以先往右再往上, 或者先往上再往右.)
考慮到方向性之後, 繞一圈就可以說是兩種微分順序的相減,
所以也就出現了曲率項.

ps. 你的曲率公式只有在\alpha和\beta的積分曲線是一組互相獨立
的參數時才有效. 否則會出現另一項和Lie bracket[\alpha,\beta]
有關的項.(在一般的曲率定義中會看到)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 86.77.104.199
※ 編輯: Babbage         來自: 86.77.104.199        (01/08 20:37)
推 Lindemann   :推好文,不過我還是納悶這算出來的曲率是什麼曲率?
→ Lindemann   :說實在的我當初一直在想這個式子的幾何意義想不透><
→ Lindemann   :為何曲率可用Lie bracket裡面還有微分項來定義
→ Lindemann   :這樣寫其實雖然美多了,但是這個到底是什麼曲率?
→ Lindemann   :我還停留在高斯的時代,還有parallel transport>?<
"曲率為什麼要定義成這樣"似乎不是很容易回答的問題,
除了先前的解釋之外, 我也沒有什麼更進一步的看法.

至於為什麼會有Lie bracket, 是因為切平面在有曲率之前(也就
是定義connection之前), 就已經會出現參數的依賴關係了.
(例如在定義黎曼度量之前, 就可以定義Lie bracket.)
Lie bracket測量兩個向量本身的"獨立性".
拿兩個不獨立的向量當作"計算微分交換的基底"時就不能確實說
"微分交換的差值全是曲率造成的", 因為有一部分是來自於基底
向量的交互作用(也就是Lie bracket).

你也可以回想一下李導數的定義, 把向量場用one parameter family
of diffeomorphisms(或者所謂的flow)來拉就可能會造成微分交換的
差異, 也就是李導數(或者說李bracket). 這是和曲面曲率無關的.
並且注意到, 如果你的flow是一組真正的參數(也就是diffeomorphic
to R^n), 那麼李導數就會是零.

→ kuromu      :我覺得感覺有點像對▽V 作線積分 然後用類似格林定理
→ kuromu      :變成像curl的東西作面積分? 還是完全沒關係 我搞錯了
→ kuromu      :?
我沒想過這問題耶, 不知道有沒有關聯.
推 WINDHEAD    :如果我們要求 curvature 是tensor的話, 係數代進去
→ WINDHEAD    :式子自然會變出 Lie bracket 這項
→ WINDHEAD    :因為他算式的本質就是 衡量微分次序交換的結果
推 WINDHEAD    :至於格林定理,是有點像,不過這邊比較機車的地方是,
推 WINDHEAD    :我們使用的平行座標向量場在每個點上的內積都不同
推 WINDHEAD    :所以積分的時候要注意這個XD
推 kuromu      :請問一下 為什麼對哪一條線平行移動就是先對哪一個
→ kuromu      :變數微分
因為 \nabla_X Y= lim (PY(h)-Y(0))/h, 其中P是沿著X方向的測地線上的平行移動,
他把Y(h)拉回Y(0)所在的切空間.
(在不同的書中, 這個式子可能被當作是定義 或者 定理.)
※ 編輯: Babbage         來自: 86.77.104.199        (01/09 22:49)
※ 編輯: Babbage         來自: 86.77.104.199        (01/09 23:02)
→ Babbage     :我常常會想錯, 若有問題別客氣, 大家一起討論
→ kuromu      :那▽_α▽_β就是把▽_β延α方向拉回嗎
→ kuromu      :但是繞一圈好像是平行移動V 請問微第二次是平行移動
→ kuromu      :▽_β V 嗎  這樣和移動V感覺有點不同 還是我弄錯了
我想我寫得不清楚害你混淆了.
V沿著X方向平行移動一次變成P_X V, P_X V不是微分, 也就是說, 不是▽_X V.
▽_X V 是 lim (P_X V(h)-V(0))/h.
所以接下來再沿著Y方向平行移動, 一樣是把剛剛移動完的V繼續移動出去,
得到(P_Y(P_X V)). 這邊被P_Y移動的是"已經被P_X移動過的V", 也就是 "P_X V".
※ 編輯: Babbage         來自: 86.77.104.199        (01/10 22:30)
→ kuromu      :那▽_α▽_β V =lim [P_α▽_β V(h)-▽_β Y(0)]/h
→ kuromu      :嗎? 還是我仍然弄錯
→ kuromu      :              -1   -1
→ kuromu      :請問為什麼(P_Y  P_X  P_Y P_X)V微分可得
→ kuromu      :(▽_X▽_Y - ▽_Y▽_X)V
→ Babbage     :我想是照定義寫開就可以算出來, 但是我沒算過
→ Babbage     :我也沒看過哪本書上有算, 可能要自己算了, 呵呵