推 VFresh :不懂統計...可是看到這種可以連接生活的數學就想推!! 01/10 01:03
推 ntask :謝謝您詳盡的回答! 01/10 20:47
※ 引述《ntask (ntask)》之銘言：
: 假設甲 乙兩人共用一台烘乾機
: 甲每次使用時間都是固定的 t分鐘
: 乙不知 t 為多少 只知道是 0到 100間的一個實數
: (假設在此區間內的任一實數可能性相等)
: 一天乙要使用烘乾機 發現甲已先用了
: 而剩餘時間還有30分鐘
: 於是乙將t假設為 65
: 這種假設合理嗎? 如果合理的話在數學上稱為?
: 再假設乙連續10次要使用烘乾機時 都發現甲正在使用中
: 這10次的剩餘時間有5次剩15分鐘
: 3次剩20分鐘 1次剩25分鐘 1次剩40分鐘
: 於是乙假設 t為70
: 合理嗎?
: 謝謝回答
甲使用時間固定為 t 分鐘,
乙到達時間假設是甲結束前 X 分鐘.
|------------x---------|
t X 0
設 X～f(x;t).
這裡又說 t 是在 [0,100] 之間的一個實數, 而且在此區
間任一點之可能性相等, 即 t 有一先驗分布
π(t)=1/100, 0≦t≦100
給定 X=30(分鐘), t 之後驗分布為
π(t|x) = π(t|30)
100
= f(x;t)/∫ f(x;u) du
0
要猜測 t 是多少, 在這樣的 Bayesian 架構下,可以考慮
posterior mean/median/mode, 或基於某些損失函數下使
expected posterior loss 最小.
若 f(x;t)=kx^α(t-x)^β/t^{α+β+1}, 0<x<t,
則 t 之 posterior density 為
π(t|x) = π(t|30)
100
= t^{-(α+β+1)}(t-x)^β/∫ u^{-(α+β+1)}(u-x)^β du
x
若乙到達時間是 [0,t] 內呈均勻分布, 則α=β=0, 而
π(t|x) = k'/t x≦t≦100
而 t 之 posterior mean 為
100 100
E[t|X=x] = ∫ dt ÷∫ 1/t dt
x x
= (100-x)/ln(100/x)
E[t|X=30] = (100-30)/ln(100/30)
= 58.14(分鐘)
設乙遇到甲10次, 而其殘餘時間是
15m 5次, 20m 3次, 25m 次, 40m 1次.
則 data 為 10次的時間, 其聯合密度為
f(data; t) = f(x_1;t)...f(x_{10};t)
例如
f(data;t) = 1/t^{10}, 0<x_i<t, i=1,...,10
則
π(t|data) = k'/t^{10}, max{x_1,...,x_10}≦t≦100
而 posterior mean 為
9(y^{-8}-100^{-8})
E[t|data] = --------------------
8(y^{-9}-100^{-9})
其中 y=max{x_1,...,x_{10}} = 40. 故得
E[t|data] = 44.98(分鐘).
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