推 newversion :原PO慢了一步 01/09 19:39
→ suker :至於Γ(1/2)=√π ;精華區中z-3-9 有推導 01/09 19:44
→ konlan :謝謝原po 01/09 19:51
※ 引述《konlan (konlan)》之銘言：
: ∞
: ∫ exp(-x^2)˙x^6 dx
: 0
: 該如何求解呢？
: ps.我只會 ∞ 這個積分
: ∫ exp(-x^2) dx
: 0
: 我猜想大概和Γ function有關 可是又不知道如何下手
: 或者和power series或laplace transform有關?
: ※ 編輯: konlan 來自: 61.224.52.213 (01/09 19:06)
: 推 david21911 :用拉普拉斯最快 01/09 19:15
: 推 sulanpa :15sqrt[pi]/16 ? 01/09 19:21
用Γ 比較快
令u=x^2 du=2xdx
x=u^(1/2)
∞
Γ(n) =∫ x^(n-1) *e^(-x) dx
0
(1/2 -1)=-1/2
∞ ∞
∫exp(-x^2) dx = (1/2) ∫ u^(-1/2) *e^(-u) du =(1/2)Γ(1/2)
0 0
=(1/2) √π
Γ(1/2)=√π
^^^^^^^^^^^^^^
這裡是要記住的
令u=x^2 du=2xdx
7/2 -1 =5/2
∞ ∞
∫ exp(-x^2)˙x^6 dx = (1/2) ∫ u^(5/2) e^(-u) du = (1/2)Γ(7/2)
0 0
Γ(n+1) = nΓ(n),n>0 , Γ(7/2) = (5/2)*Γ(5/2) =(5/2)(3/2)Γ(3/2)
=(5/2)(3/2)(1/2) Γ(1/2)
=(15/8) √π
原式=(1/2)Γ(7/2) =(15/16)√π
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