推 eqcolouring :感謝!!! 01/10 15:54
※ 引述《eqcolouring (123)》之銘言：
: 以剪刀,石頭,布猜拳
: (1)若兩人猜,平均要猜幾次才分勝負?
每猜一次 都有1/3機率會出一樣的=>要猜下一次
2/3機率會出不一樣的=>分出勝負
可以用畫樹狀圖的方法先觀察:
一次 兩次 三次 ...
(2/3)
機／ (2/3)
率＼ (1/3) ／ (2/3)
＼ (1/3) ／
＼ (1/3) ...
0 1 2
=> 平均次數 = (1/3) (2/3)*1 + (1/3) (2/3)*2 + (1/3) (2/3)*3 + ...
∞ k
=2*Σ (1/3) *k
k=1
∞ k ∞ k ∞ k
=2*[ Σ (1/3) + Σ (1/3) + Σ (1/3) + ... ]
k=1 k=2 k=3
1 2 3
=2*[ (1/3) /(2/3) + (1/3) /(2/3) + (1/3) /(2/3) + ... ]
∞ k
=3*[Σ (1/3) ] = 3*[(1/3)/(2/3)] = (3/2)
k=1
Ans: 平均1.5次
: (2)現有三人一起猜拳(三人一起出拳),
: 若兩人勝一人,則勝者兩人繼續猜,
: 若一人勝兩人,此人勝出.
: 問平均要猜幾次,才能剛好有一人勝出?
稍微觀察一下各種情形可知:
"三個人"每猜一次拳 , 有1/3機率有一人勝出,1/3機率兩人勝,1/3機率都沒分出勝負
因為兩個人猜拳平均要猜1.5次可以分出勝負 (前一題的)
所以樹狀圖會有點類似以下這樣:
一次 兩次 ...
(1/3) (一人勝)
╱
─ (1/3)*(2人)
(1/3) (一人勝)
╲ ╱
(1/3) ─ (1/3)*(2人)
╲
(1/3) ...
直接分出勝負 剩兩個人
↑ ↑
∞ k ∞ k
平均猜拳次數 = [ Σ (1/3) *k + Σ (1/3) *(k+1.5)]
k=1 k=1
∞ k ∞ k
= [2Σ (1/3) *k + Σ (1/3) *(1.5)]
k=1 k=1
∞ k
= [ 1.5 + 1.5*Σ (1/3) ] = 1.5 + 1.5*(1/2) = 2.25
k=1
∞ k
( 其中 2Σ (1/3) *k 是因為第一小題算過 所以可以直接代1.5 )
k=1
Ans: 平均2.25次
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