推 ntust661 :非常棒 01/10 13:08
※ 引述《konlan (konlan)》之銘言：
: ∞
: ∫ exp(-x^2)˙x^6 dx
: 0
: 該如何求解呢？
: ps.我只會 ∞ 這個積分
: ∫ exp(-x^2) dx
: 0
: 我猜想大概和Γ function有關 可是又不知道如何下手
: 或者和power series或laplace transform有關?
用Γ函數當然是很好的做法，但我想提供一個不一樣的方法。
∞
既然你會算∫exp(-x^2)dx = (1/2)√π，
0
∞
那麼你當然會算∫exp(-a*x^2)dx = (1/2)√π/√a = F(a)。
0
將上式對 a 微分三次，可得
∞
∫(-x^2)^3*e^(-a*x^2)dx = F'''(a)，則
0
∞ |
∫x^6*e^(-x^2)dx = - F'''(a)|
0 |a=1
= - (1/2)(-1/2)(-3/2)(-5/2)√π
= (15/16)√π
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◆ From: 211.20.185.36