※ 引述《ntask (ntask)》之銘言：
: 照題意來說 N 應當是隨機的
: 然而如果就直觀來說
: 當我們知道 m=n=90 s=81 時
: 是猜 N=100 比較合理 還是 猜 N=108 比較合理?
: 已知 m=n=90 的話 當 N=108 時 s=81 的機率
: 遠大於 N=100 時 s=81 的機率
: 不管 N 的分布為何
: 所以當 m=n 時 用 m+2*(m-s) 也是一個可能的估計值
: 我不太曉得要怎樣說明我的想法 回去再想想
: 我的意思只是想解釋說為什麼我覺得 mn/s
: 不是一個很好的估計值
假設 N 是隨機的, 並假設它是 Poisoon 分布, 均數為λ.
不採用 Bayesian 架構, 仍採用傳統方法.
則 marginally, m-s, n-s 及 s 是相互獨立 Poisson 變
量觀測值,
m-s 來自 Poisson(λp(1-q))
n-s 來自 Poisson(λq(1-p))
s 來自 Poisson(λpq)
由於 m-s, n-s 與 s 相互獨立, 因此很自然地,
用 m-s 估計 λp(1-q)
用 n-s 估計 λq(1-p)
用 s 估計 λpq
這些估計都是統計上所謂 MLE (maximum likelihood est.)
因此, 依 MLE 的不變性,
λp 用 m 估, λq 用 n 估, λpq 用 s 估
則
λ 的 MLE 是 mn/s.
所以, m=90, n=90, s=81 時, λ 的估計值是 100.
雖然 conditionally (given m,n,s) N≧99, 但有多大機
率 N>100? 令 N=N1+N2+N3+N4, 諸 Ni 相互獨立.
乙找出 乙未找出
甲找出 N1 N2
甲未找出 N3 N4
現在 N1=s=81, N2=m-s=9, N3=n-s=9,
而 N1+N2+N3=m+n-s=99,
P[N>100|N1=81,N2=9,N3=9] = P[N4>1|N1=9,N2=9,N3=9]
= P[N4>1]
而 N4～Poisson(λ(1-p)(1-q)).
假設 p=0.9=q, 而 λ=100, 則 N4～Poisson(1), 故
P[N4>1] = 1-P[N4=0]-P[N4=1] = 1-2e^{-1} = 0.264
即: 若 λ=100 而 p=0.9=q, 則
在 given N1=s=81, N2=m-s=9, N3=n-s=9 條件下,
N=99 的條件機率是 0.368
N=100 條件機率也是 0.368
N>100 條件機率是 0.264
而 λ=108, p=90/108=0.8333=q 時,
P[N1=81, N2=9, N3=9] = 0.0000368
當然這機率很小是合理的, 我們拿λ=100的假設來比較:
λ=100 而 p=0.9=q 則
P[N1=81, N2=9, N3=9] = 0.000769
是 λ=108 時的20倍多一點. 也就是λ=100的likelihood
是λ=108時的20倍.
以下是 likelihood 計算:
λ p q P[N1=81] P[N2=9] P[N3=9] likelihood
99 0.9091 0.9091 0.044099955 0.126638832 0.126638832 0.000707248
100 0.9 0.9 0.04428134 0.13175564 0.13175564 0.000768704
101 0.8911 0.8911 0.044104718 0.127384164 0.127384164 0.000715675
102 0.8824 0.8824 0.043588173 0.116208276 0.116208276 0.000588631
103 0.8738 0.8738 0.042756605 0.101187462 0.101187462 0.000437781
105 0.8571 0.8571 0.040273872 0.068984417 0.068984417 0.000191657
108 0.8333 0.8333 0.035048017 0.032407167 0.032407167 3.68083E-05
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