Re: [中學] 一題數論的題目

[SJOKER (高斯教授)]

※ 引述《j19951102 (j19951102)》之銘言：
: 設p, q, r為質數，若滿足關係式p^3 = p^2 + q^2 + r^2，試求所有可能值p, q, r
: 想了好久，想不出來，請大家幫忙

  筆者提供一個想法,有錯尚請不吝指正:


  我們先考慮p,q,r中其它有出現2或3的情況(#部分為不失一般性的假設):

  (1)p = 2 時 , 原式 => 8 = 4 + q^2 + r^2 , 顯然沒有質數解

 #(2)q = 2 時 , 原式 => p^3 = p^2 + 4 + r^2 ,

                因為 p≠2 , 故p必為奇數 , 於是左式≡1或3(mod 4)

                而右式若要≡1,則q只能是2,但此時對p無法得到質數解

                (右式不可能≡3)

  (3)p = 3 時 , 原式 => 27 = 9 + q^2 + r^2 , 得到(3,3,3)這個解

 #(4)q = 3 時 , 原式 => p^3 - p^2 - 9 = r^2

                此時不考慮p=r=3的情況(與上述重複),於是r^2≡1(mod 3)

                而左式≡1-1-0≡0(mod 3) , 於是必無質數解
  (目前此步有問題)

  最後我們考慮p,q,r皆大於3的情況,此時p,q,r≡1或-1(mod 6)

  因此p^3≡1或-1(mod 6),但是p^2 + q^2 + r^2≡3(mod 6),故亦無質數解

  綜上所述,僅有(3,3,3)這個解


  僅供參考





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◆ From: 118.166.174.85
※ 編輯: SJOKER          來自: 118.166.174.85       (01/14 21:54)
推 j19951102   : #(4)q = 3 時 左式≡1-1-0≡0(mod 3) 能說明一下為
→ j19951102   :什麼嗎? p^3不一定模3同餘1吧
→ SJOKER      :抱歉剛才我也發現第(4)步有問題,正在找新方法修正
※ 編輯: SJOKER          來自: 118.166.174.85       (01/14 23:56)
推 moorhsum    :能不能一樣用最下面的方法 既然p,r皆大於3必=1or-1
推 moorhsum    :阿  當我沒說...