推 znmkhxrw :謝拉 我吸收一下 01/15 05:50
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: Question 1：
:
: 我查微積分第一基本定理有兩個
:
: 一個是 if f ε C[a,b] , then
:
: x
: the derivative of ∫ f(t)dt = f(x) for all xε[a,b]
: a
:
: 另外一個是f不用連續(wiki上)
:
: 只要
: x
: ∫ f(t)dt = f(x) for all xε[a,b] 存在即可
: a
:
: 意思就是條件只要 if f is integrable on [a,b]
:
不知你看的是哪個 wiki?
http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus
其中 f(x) 是假設在 [a,b] 連續.
不過, 事實上 f(x) 只要在 [a,b] 黎曼可積, 而
d x
---- ∫ f(t) dt = f(x) if x 是 f 的連續點.
dx a
:
: 而有關第一個
:
: 我覺得因為f ε C[a,b] 所以可以推得f is integrable on [a,b]
:
: 所以其實廣義而言 第二個也可以吼？
:
: 我看他的證明其實沒用到continuous
:
證明中是需要 f 在 x 連續的; 否則
1 x+△x
----- ∫ f(t) dt
△x x
無法控制.
:
: Question 2：
:
: 有關於循環論證
:
: 我看了一下兩種fundamental Calculus Theorem
:
: 其中一個版本(wiki也是)是用MVT of integration
:
: (Question 3：老師寫的條件是f要連續才能用，可是我看證明其實只是為了可積而已
:
: 所以積分MVT只要f is integrable照樣可用？)
:
: 也就是說他在證明過程中使用了：
:
: x
: ∫ f(t)dt = f(z)(x-a) , for some zε[a,x]
: a
若 f 不連續, 如何保證 z 存在?
:
: 問題來了
:
: 我去看積分MVT的證明
:
: 他必須用到fundamental Calculus Theorem
證明積分MVT, 並不需要 FCT.
只要 f(x) 在 [a,b] 連續, 則有 x1, x2 使
f(x1) = min{f(x): a≦x≦b] = m
f(x2) = max{f(x): a≦x≦b] = M
而由積分之保序性, 得
b
m(b-a)≦∫ f(x) dx ≦M(b-a)
a
而後由 IVT, 存在 z 介於 x1,x2 之間, 使
1 b
f(z) = ----- ∫ f(x) dx
b-a a
:
: 可是我們現在卻是要證fundamental Calculus Theorem阿
:
: 如果用積分MVT去證
:
: 會造成循環論證嗎？
:
: 或許會吧！
:
: 不過從另外一個角度看
:
: 積分MVT這個定理的"陳述"並未用到fundamental Calculus Theorem
:
: 條件也都符合我們要的 所以理當可以使用阿！
:
: 只是我們沒考慮到他的證明而已
:
: 所以 如果真的會造成循環論證
:
: 那這樣就很麻煩了耶
:
: 我們在使用每個定理與Lemma時
:
: 都要先看看他的證明是否有用到我們想證的東西？
:
:
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