→ lockheart :by definition, f(Xn)=0 & f(Yn)=1 for all n 01/15 23:32
推 Madroach :對因為假設連續所以這樣做 然後最後一個問題:沒錯 01/16 00:11
最近自己看交大的開放式課程(大一的微積分)
然後看到在講連續的地方有這個例題
f(x) = 0 , x is rational
1 , x is irrational
然後老師證明他不是連續的方法是這樣的
假設f在x=2是連續 那麼
lim f(x) = 0 = f(2)
x->2
然後造兩個數列Xn=有理數 且 Xn->2 (當n->無限大)
Yn=無理數 且 Yn->2 (當n->無限大)
所以
lim f(Xn) = 0 (註1)
n->無限大
lim f(Yn) = 1
n->無限大
然後因為用兩種不同的逼近方式得到的極限不同所以x=2這點不連續
我的問題是
當在做"註1"這一步驟的時候 不是要f是連續 才能把極限和函數交換嗎 ?
為甚麼卻直接交換了 ?
還是是因為一開始假設f在x=2時連續
所以不管X=Xn的其他點是否連續 只要當他逼近2就假設他是連續的
然後就能把函數和極限交換了 ?
另外從這裡是不是可以知道
無理數的兩邊會被有理數夾住 ? 或說有理數會被兩個無理數夾住 ?
因為這個函數的每一點都不連續 也就是說每一點都是break
所以不會有兩個有理數黏在一起
這樣想可以嗎 ?
然後再問一個小問題
極限存在 是不是代表 不管我用哪種方式去逼近他 都會得到同樣的極限值?
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