→ Vulpix :你應該做的是把他解完 目前都沒什麼錯，應該會對 01/16 15:40
推 JAPTX4869 :解出來應該是以極座標表示的直線 01/16 21:59
推 G41271 :蠻有趣的 所以最後的答案軌跡是什麼呀 01/17 10:55
→ rachel5566 :已經解決了 把圓錐攤開 軌跡的確是直線 01/17 12:29
一個圓錐 x^2 + y^2 = (z/c)^2，z≧0
用變分法找出在錐面上兩點間的最短距離
我的做法:
x = ρcosψ，y = ρsinψ，z = cρ，ρ = x^2 + y^2
=> dx = (dρ)cosψ-ρsinψ(dψ)
dy = (dρ)sinψ+ρcosψ(dψ)
dz = c(dρ)
=> ds = sqrt[(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2]
= sqrt[(dρ)^2+ρ^2(dψ)^2+c^2(dρ)^2]
= sqrt[(1+c^2)(dρ)^2+ρ^2(dψ)^2]
= sqrt[(1+c^2)+ρ^2(dψ/dρ)^2](dρ)
Define sqrt[(1+c^2)+ρ^2(dψ/dρ)^2] = f，dψ/dρ = ψ'
=> S = ∫ ds = ∫sqrt[(1+c^2)+ρ^2(dψ/dρ)^2](dρ)
C
use Euler's equation: δ partial differential operator
δf d ┌ δf ┐ δf
── - ──│───│ = 0 ∵ ── = 0
δψ dρ └ δψ'┘ δψ
δf ρ^2(ψ')
=> ─── = constant = a = ───────────────
δψ' [(1+c^2)+ρ^2(ψ')^2]^(1/2)
=> ψ(ρ) = .........
解出來的軌跡看起來很複雜
但是在直覺上，最短軌跡在把圓錐攤開之後，軌跡應該為直線
而求得的解看起來卻不是這麼一回事
請問我哪裡算錯了嗎?
謝謝
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※ 編輯: rachel5566 來自: 140.112.211.87 (01/16 00:15)