推 hcsoso :推, 不推不行... 數學版開始有很多畫圖神人... 01/16 23:52
推 kuromu :感謝 01/17 00:09
※ 編輯: ppia 來自: 114.32.4.99 (01/17 00:35)
推 Lindemann :推, 不推不行 01/17 01:17
※ 引述《kuromu (kuromu)》之銘言：
: 在書上看到 pull back push forward 的意義
: 覺得有點混亂
: 沒辦法對數學式有直觀感覺
n k
給定一個從 M 打到 N 的(平滑)函數 φ , 對於 M 上某一點 p , 在 φ 的映射底下
p 會被送到 N 上一點 q = φ(p), 然而不只是這樣, 給定 p 點的某個(切)向量 U ,
有一個自然的方法把 U 送到 N 在 q 點的切向量 U' , 方法如下:
如果有一條通過 p 的曲線 β , 它在 p 的切向量 β'(0) 恰等於 U , 那我們其實可以
把 β'(0) 跟 U 想成同一個東西. 而 β 在 φ 的映射底下會變成一條通過 q 的曲線
γ(t) = φ(β(t)), 於是我們就把 U 經由 φ 往 q 點送的切向量定為 γ'(0). 記做
(dφ)_p(U) 或 (φ_*)_p(U)
取 p 點附近的局部座標 (x^1, ..., x^n), q 點附近的局部座標 (y^1, ...,y^k)
在這兩組局部座標之下記
1 n 1 1 n k 1 n
φ(x , ..., x ) = (φ (x ,...,x ), ... , φ(x ,...,x ))
1 n
β(t) = (x(t), ...,x(t))
則
j
j d j 1 n │ ∂φ│ i
(γ'(0)) = ─ φ (x(t), ..., x(t))│ = ──│ U
dt │t=0 ∂x^i│p
由此可知 (φ_*)_p(U) 的定義只跟 U 有關, 跟 β 的選取無關.
: 另外 碰到 Lie derivative 的定義 因此也不了解
: α β α β α β
: 不知道為什麼 L U = U,β V - V,β U 會多出 V,β U 這一項
: v
: 推導的過程看的不是很懂
: 想請問一下這些 非常感謝
╭ ╮
V_p │φ │ V_q
╴╰ -t╯*
↑ ∕▏
│ →∕ → ╮﹎﹎ V_q
│→∕ → ╮﹎﹎ ╮
│.∕ → ╮﹎ ╮ ↘ ↗
│∕ → ╮﹎ ╮ ↘ ╱
▉∕ → ﹎ ╮ ↘ ／
p▇▇▇──﹍ ↘ ／
╲／
φ(p):= q
t
先固定 M 上一點 p , 考慮 U 的 flow φ_t , 即
d
─ φ (x) = U(φ (x)), φ (x) = x
dt t t 0
固定 x ,這就是一個 ODE ,而 φ_t (當作t的函數) 就是由 x 點出發, U 這個向量場的
積分曲線. 另一方面, 我們也可以 固定 t 而變動 x , 那麼 φ_t 就是一個由 M 映到
M 自己的函數, 映法是: 把每一個點 x 順著 U 的積分曲線往前送 t.記 q = φ_t(p).
同時我們可以考慮 V 的 flow ψ_s . 根據定義我們有 V_p = ∂ ψ (p)│
把 V_q 經由 φ_t 這個 M 上的映射從 q 拉回 p , 或者說, s s │s=0
把 V_q 經由 φ_(-t) 這個映射從 q 送至 p, 根據上面的定義,
╭ ╮ ∂ │ ∂ │
│φ │ V_q = ─ φ 。ψ (q)│ = ─ φ 。ψ。φ (p)│
╰ -t╯* ∂s -t s │s=0 ∂s -t s t │s=0
而 Lie derivative 就定義為 ╭ ╮
│φ │ V_q - V_p
at p ╰ -t╯*
L V = lim ────────
U t → 0 t
V本身就表示一階量, 而極限式中分子的部分表示 V 這個一階量在 U 所生成的 flow 下
所受到的影響, 我們把 V 從 q 拉回到 p 是為了有個比較的基準: 不同點的切向量沒有
自然的比較方法. 最後, Lie derivative 就是這個 V 受到 U 影響程度在 p 這點的
一階量, 因此 Lie derivative 自然是個二階的量, 而且不難看出, 當 U,V 是座標
切向量時 (也就是存在函數X: (t,s)├→ X(t,s) ∈ M 使得 ∂_t X = U, ∂_s X = V),
Lie derivative 處處為零.
計算得 2
at p ∂ ╭ ╮
L V = ───│ φ 。ψ。φ (p) - ψ (p) │
U ∂s ∂t╰ -t s t s ╯(t,s)=(0,0)
∂^2 ╭ ╮
= ───│ -φ 。ψ (p) + ψ。φ (p) │
∂s ∂t╰ t s s t ╯(t,s)=(0,0)
under local ∂╭ i ╮ ∂╭ i ╮
= ─│ -V ∂φ (p) │ + ─│ U ∂ψ (p) │
coor. ∂t╰ i t ╯t=0 ∂s╰ i s ╯s=0
= -VU + UV
另外, 從 PDE 的角度來說, 這其實是 compatibility condition: 如果存在函數 X:
(s,t)├→ X(t,s) ∈ M 使得
∂X = U , ∂X = V,
t s
那麼因為偏微分可交換:
∂∂X = ∂∂X ,
t s s t
所以 VU = UV. 反過來說也對, 如果 [U,V]=0 處處成立, 那麼這樣的函數 X 一定
(局部)存在.
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