※ 引述《skywidth (skywidth)》之銘言：
: 想請問一個證明
: 假設一袋子中有 1-5號卡片
: 抽兩次 取後不放回 那號碼和的期望值是?
: 其中
: 我可以直接算抽一個的期望值在乘以2
: 1+2+3+4+5/5 *2=6
: 但我始終找不到證明 所以無法理解其原因
: 我比較能理解取後放回 但取後不放回實在無法理解 不知各位有沒有證明?
如果要直接算號碼的期望值
首先
5
任取兩數的方法數 = C = 10種
2
(因為取後不放回,所以必取到不同數)
取到的兩數可能為 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)
(1+2)+(1+3)+(1+4)+(1+5)+(2+3)+(2+4)+(2+5)+(3+4)+(3+5)+(4+5)
=>號碼和期望值= -------------------------------------------------------------
10
= 60/10
= 6 (跟取一個的期望值x2剛好一樣)
如果要更詳細的證明如下:
假設有n個號碼(1,2,3,...,n)
n
Σ k
k=1 n(n+1)/2
則取一個的期望值再乘以2 = -------- x 2 = ------------x2 = n+1
n n
C
1
n-1 n n-1 n
Σ Σ (i+j) Σ (n-i)*i + Σ j
i=1 j=i+1 i=1 j=i+1
取兩個數直接算期望值 = ---------------- = -----------------------
n n(n-1)/2
C
2
n-1
Σ ni-i^2+ (n+i+1)(n-i)/2
i=1
= ----------------------------
n(n-1)/2
n-1
Σ -3*i^2 + (2n-1)i+(n^2+n)
i=1
= -----------------------------
n(n-1)
(-3)(n-1)(n)(2n-1)/6 + (2n-1)(n-1)(n)/2 + (n-1)(n^2+n)
= --------------------------------------------------------
n(n-1)
= -(2n-1)/2 + (2n-1)/2 + (n+1)
= n+1
所以用這兩種方法算出來的答案都"恰好"會等於 n+1
得證!?
差不多吧XD
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