作者G41271 (茶)
看板Math
標題Re: [微積] 高斯積分跟i
時間Wed Jan 19 06:49:39 2011
※ 引述《jerry78424 (青松碧濤)》之銘言：
: 2
: ∞ -iu
: 若積分的形式是∫ e du
: -∞
: 可以用一般處理高斯積分的方法作嗎？就是把i當成常數來看。
: 如果不可以的話原因為何？
可以
高斯積分的形式是
∞
∫ exp[-ax^2+bx] dx = √(π/a) exp[b^2/4a] ; Re(a)>0
-∞
a,b都可以是複數,只要a的實部大於零即可.
然而,雖然本題exp[-iu^2]並不符合此條件(a=i).
但答案仍然是成立的,也就是說本題的答案可以寫成√(π/i).
當然,要吹毛求疵的話,可能會問說√(π/i)會有兩個解,
(1-i)√(π/2)和(-1+i)√(π/2). 那麼到底是哪一個呢? 答案會是前者.
這裡沒有辦法從高斯積分式看出來.要回到複變或其他方法才能求得.
但高斯積分式所給出的答案√(π/i),仍然是一個很有用的結果.
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 112.104.108.207
※ 編輯: G41271 來自: 112.104.108.207 (01/19 06:55)
推 jerry78424 :感謝，不過有點疑問....為何不符合實部>0原式仍成立? 01/19 07:33
如四樓所說,Re(a)>0才能保證此積分收斂.
→ jerry78424 :這樣不會違反什麼定理嗎?或者為何要強調Re(a)>0? 01/19 07:35
應該這樣說,這題用複變或其他方法算出來的答案是(1-i)√(π/2),
發現剛好可以寫成√(π/i).所以發現此積分也適用於高斯積分的公式.
而且高斯積分式就是由複變推出來的.
→ jerry78424 :是因為會有重根的關係？ 再次謝謝～ 01/19 07:36
只要a是複數(虛部不為零),那√a就一定會有兩解.但在應用上都不會在乎此點,
反正只差個正負號而已.
推 endlesschaos:是因為實部 > 0 代入上下界∞時才會收斂吧 01/19 10:43
是
※ 編輯: G41271 來自: 112.104.108.207 (01/19 17:31)