[微積] 拉格朗日求極值

[pf (pf)]

求 f(x,y) = x^3 + 3y^2 在 2x^2 + y^2 = 4 上的極大值和極小值

我用拉格朗日乘數法

令 z = x^3 + 3y^2 - L (2x^2 + y^2 - 4)

z 對 x 偏微分 3x^2 - L*4x = 0

z 對 y 偏微分 6y - L*2y = 0

z 對 L 偏微分 2x^2 + y^2 = 4

解得 x = 0 或 4, 但 x = 4 時, y 為虛數
故得 x = 0, y = 2 或 -2

當我把 (0, 2) 和 (0, -2) 代入 f(x,y)時, 其值均為 12

請問要如何判斷極大值和極小值呢?

謝謝!

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◆ From: 118.165.171.16
→ ntust661    :黑塞矩陣
推 deepwoody   :帶回去就知道了吧
→ pf          :黑塞矩陣求出來等於0耶
推 sm008150204 :還有一點是（根號２，０）←應該是最小值吧
→ sm008150204 :你算出來的是最大值
→ ntust661    :不然用描圖的
→ ntust661    :看 x = 0 y = 2+ f(0,2)斜率多少 df/dy
→ ntust661    :看 x = 0 y = 2- f(0,2)斜率多少 df/dy
→ ntust661    :阿 有更好的方法，看 x = 0 , y = 2 ,  d^2f/dy^2
→ ntust661    :判斷凹口
→ ntust661    :d^2f/dx^2 也要判斷一下
→ ntust661    :因為可能一邊是極值，一邊是反曲點
→ pf          :請教sm大該點怎麼求出來的呢
→ pf          :而且, 將該點代入z對x偏微分的式子中不會等於0耶
→ pf          :請教ntust大, d2f/dy2=6, d2f/dx2=6x, 這樣代表凹口
→ pf          :都是向上嗎?
推 sm008150204 :(L,x,y) = ( (3*根號2)/4 , 根號2 , 0 )