推 rexkimta :推方唐鏡XDD 01/21 15:08
※ 引述《kku6869 (kku6869)》之銘言：
: 曾經看過一個作法
: a/b -> (a+nb)/(a+b) 可以慢慢逼近 根號n
: 例如
: 我要求 根號7
: 我打算從5/2開始逼近
: 5/2 -> (5+2*7)/(5+2)=19/7 -> (19+7*7)/26=68/26 約2.615
: 如果ㄧ直逼近 惠很接近根號7
: 請問這種作法的原理是什麼 該如何證明呢?
: 很想知道~~~
記 a/b = s ---> (s+n)/(s+1)
易證 √n < s => (s+n)/(s+1) < √n
與 √n > s => (s+n)/(s+1) > √n
記 s_1=s , s_(k+1)= (s_k +n)/(s_k +1)
那麼 s_奇 跟 s_偶 會分別在 √n 的兩側，
像九品芝麻官裡面的方唐鏡那樣跳來跳去。
好，接下來如果你勤勞一點的話，
會發現到 (s_3 - s_2)/(s_1 - s_2) = (n-1) / [n+1+2s] = R
這個 R 無論如何都比 (n-1)/(n+1) 還小，而 (n-1)/(n+1) < 1
那等比數列的知識告訴你說， s_k 跟 s_(k+1) 之間的距離會隨著 k 趨近於零
所以方唐鏡跳著跳著就趨近於那條黃線了。
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