Re: [線代] 若兩個矩陣相似(similar)則秩(rank)一樣?

[VFresh (車干)]

※ 引述《ofd168 (大色狼來襲)》之銘言：
: 如提
: 若兩個矩陣similar則rank會一樣嗎???
: p.s
: 若A和B similar 則找的到S使  A=S^-1*B*S
: rank of A = dimentions of columnspace of A
:           =               rowspace of A
: 附上定義
: 謝謝各位大大了

ker(K) := {v | Kv = 0 }

考慮 v in ker(A) iff Av = 0
                 iff S^-1BSv = 0
                 iff BSv = 0
                 iff Sv in ker(B)

因此 ker(A) = S(ker(B)) := { Sv | v in ker(B)}

考慮左乘變換 LS : F^n -> F^n  (F是某個field ,可為實/複數 或是其他)

LS|      : ker(B) -> F^n    ( | 為限制其定義域)
  ker(B)

根據dimension theorem -

  dim(ker(B)) = dim(LS|)    + dim(LS(ker(B)))
                     ker(B)
              =    0        +  dim(S(ker(B))
                < 0 是因為 S 可反 因此 1-1, 因此 ker = 0 >

              =  dim(ker(A))


但因 n = rankA + dim(ker(A)) = rankB + dim(ker(B))
(n為矩陣大小)

因此 rankA = rankB


僅供參考~  Orz

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 111.251.173.148
推 ofd168      :抱歉大大，小弟可能能力不夠，從左乘轉換就看不太懂
→ ofd168      :左乘轉換是linear transformation 線性轉換？？
→ ofd168      :還有那個　因為Ｓ可反　　所以1-1 這裡看不太懂
→ VFresh      :左乘變換意思只是左乘矩陣 是一個線性變換
→ VFresh      :可反是因為其反函數為 LS^-1  因此必定1-1
推 ofd168      :大大，因為排版問題，問一下