[微積] 錯在哪一步

[jurian0101 (小維)]

 簡單的ODE, dx/dt=sinx 可以直接分離變數算出

   t = -ln|cscx+cotx|+ C1

   e^(t-C1) = 1/ (cscx + cotx) = tan (x/2)

   x = 2 arctan( e^(t-C1))               ...#1


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 多事的解法，由Euler's identity,

   sinx = [e^ix - e^(-ix)] / 2i

 代入原式

   dx/dt = [e^ix - e^(-ix)] / 2i

 令 z=e^ix, dz/dt= ie^ix dx/dt 代換得

   dz/dt = (z^2 - 1)/2

 這時候再分離變數解得

   t = ln|z-1| - ln|z+1| + C2

   e^(t-C2) = e^t' = (z-1)/(z+1)          , t'=t-C2

=> z = (1+e^t') / (1-e^t')


  最後得到 x = -i ln [(1+e^t') / (1-e^t')]      ...#2



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 (╯口╰)  #1 和 #2 兩個答案 差蠻多的

 檢查幾次還是不知道問題出在哪，請教各位。


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.164.7.189
→ Vulpix      :兩個答案都是對的  要說有錯也只是過程有點小錯罷了
→ Vulpix      :但是那兩個看起來很不一樣的答案其實會一樣喔
※ 編輯: jurian0101      來自: 218.164.4.169        (01/27 13:39)
推 ntust661    :什麼是 t' ="= ...
→ jurian0101  :不是微分，是平移
※ 編輯: jurian0101      來自: 218.164.5.129        (01/28 20:13)