推 Madroach :強者 01/27 04:01
推 Frobenius :強者 01/29 12:17
※ 引述《donod (我所知道的只有一件事)》之銘言：
: 1.對x積分從負無限到正無限 cos(mx)/(x^2+1) dx
: 2.對x積分從零到無限 1/(1+x^2+x^4) dx
: 第2題我用x=e^y去做變數變換，但是得到一個1/{(coshx)^2-1}後，
: 我就做不下去了！
:
: 推 G41271 :這些都是複變經典題目耶 01/21 22:40
: → donod :我是有想到複變去，但是那邊還沒復習到，謝謝樓上 01/21 22:44
: → donod :不過我力學老師說，所有微積分都可以不用靠複變作 01/21 22:45
: → donod :所以想試試看 01/21 22:45
: 推 G41271 :是可以啦 01/21 22:46
: 推 sm008150204 :1+x^2+x^4 = (1-x+x^2)(1+x+x^2+)然後用部分分式 01/21 23:28
其餘恕刪,上週有看到這篇,不過那時再忙,今天忽然想到
"所有微積分都可以不用靠複變作"這句,所以來回文一下.
1.
∞ cosmx
∫ --------- dx
-∞ 1 + x^2
這題積不出來,初微無效.
法一: Laplace Transform
用LT來解這題普遍見於工數書的LT應用章節內.
要用LT,必須要求t>0,所以令｜m｜= t, 則
∞ cosmx ∞ costx
∫ --------- dx = ∫ --------- dx = I(t) .
-∞ 1 + x^2 -∞ 1 + x^2
∞ 1 ∞ 1 s
L{I(t)} = ∫ --------- L{costx} dx = ∫ --------- ----------- dx
-∞ 1 + x^2 -∞ 1 + x^2 x^2 + s^2
s ∞ 1 1
= ------- ∫ [--------- - ----------- ] dx
s^2-1 -∞ 1 + x^2 x^2 + s^2
s 1 x ∞
= ------- [arctan(x) - --- arctan(---) ]
s^2-1 s s -∞
s 1 π
= ------- π[ 1 - --- ] = ----- .
s^2-1 s s+1
所以 I(t) = L^-1{π/(s+1)} = π e^(-t) ,得
∞ cosmx
∫ --------- dx = π e^(-｜m｜) .
-∞ 1 + x^2
大概是這樣.當然,可以挑出骨頭,LT只對t>0時有效,所以當m=0時,LT會失敗.
∞ 1 ∞
只好另外寫 ∫ --------- dx = [arctanx] = π = π e^(-0)
-∞ 1 + x^2 -∞
∞ cosmx
所以 ∫ --------- dx = π e^(-｜m｜)
-∞ 1 + x^2
法二 雙重積分轉換
名字隨便取的,不知道怎麼叫比較好.隨便.
∞ sinxy
let t=｜m｜≧0, 考慮 1/(1+x^2) = ∫ e^(-y) ------- dy
0 x
∞ cosmx ∞ costx ∞ ∞ sinxy
∫ --------- dx = ∫ --------- dx = ∫costx ∫e^(-y) ------- dy dx =
-∞ 1 + x^2 -∞ 1 + x^2 -∞ 0 x
∞ ∞ costx sinyx
∫e^(-y) ∫ -------------- dx dy .
0 -∞ x
∞ costx sinyx 1 ∞ sin(y+t)x sin(y-t)x
I(y) = ∫ ------------- dx = --- ∫[ ---------- - ----------- ] dx
-∞ x 2 -∞ x x
= π/2 [ sgn(y+t)-sgn(y-t) ] .
∞ +1,u>0
(∫sinux/x dx = πsgn(u) ,見352篇(也是雙重積分解,沒用到複變).sgn(u) = 0,u=0 )
-∞ -1,u<0
π, y>t
所以I(y) = π/2, y=t
0, y<t
回到原式:
∞ ∞ costx sinyx ∞
∫e^(-y) ∫ -------------- dx dy = ∫e^(-y) I(y) dy =
0 -∞ x 0
∞
∫e^(-y) π dy = πe^(-t) . 得
t
∞ cosmx
∫ --------- dx = π e^(-｜m｜) .
-∞ 1 + x^2
PS:此法也可以寫成Inverse Laplace Transform.
法三 Fourier Transform
考慮 G(k) = e^(-｜k∣) 的 Inverse Fourier Transform,
1 ∞
F^-1{G(k)} = ------- ∫ e^(-｜k∣) e^(ikx) dk
√(2π) -∞
1 ∞ √2 1
= -------- 2 ∫e^(-k) coskx dk = ----- -------- = g(x)
√(2π) 0 √π x^2 +1
1 ∞ √2
所以 F{g(x)} = ------- ∫ ------------ e^(-ikx) dx = G(k) , 得
√(2π) -∞ √π(x^2 +1)
∞ e^(-ikx) ∞ coskx
∫ ----------- dx = πe^(-｜k｜) , 2 ∫ --------- dx = π e^(-｜k｜),得
-∞ (x^2 +1) 0 1 + x^2
∞ coskx
∫ --------- dx = π e^(-｜k｜) , 再把k換成m即得解.
-∞ 1 + x^2
PS:第三個很明顯是由答案去湊解法,但算式最短,考試時這樣寫最快.
有錯請指正
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