※ 引述《donod (我所知道的只有一件事)》之銘言：
: 2.對x積分從零到無限 1/(1+x^2+x^4) dx
: 第2題我用x=e^y去做變數變換，但是得到一個1/{(coshx)^2-1}後，
哪有,變錯了吧.
: 我就做不下去了！
: 請強者幫忙解答
: 推 G41271 :這些都是複變經典題目耶 01/21 22:40
: → donod :我是有想到複變去，但是那邊還沒復習到，謝謝樓上 01/21 22:44
: → donod :不過我力學老師說，所有微積分都可以不用靠複變作 01/21 22:45
: → donod :所以想試試看 01/21 22:45
: 推 G41271 :是可以啦 01/21 22:46
: → Vulpix :第二題可以因式分解然後拆項積分 01/21 23:19
: → Vulpix :至於你本來的作法也可以用拆項，或者利用 01/21 23:20
: → Vulpix :∫dx/{(coshx)^2-1} = ∫(cschx)^2 dx = -cothx +C 01/21 23:22
: 推 sm008150204 :1+x^2+x^4 = (1-x+x^2)(1+x+x^2+)然後用部分分式 01/21 23:28
: → Vulpix :雖然我剛剛用你的代換換不出你的1/{(coshx)^2-1} 01/21 23:30
2.
∞ dx ∞ dx
∫ ------------ = ∫ -------------------
0 x^4 +x^2 +1 0 (x^2+x+1)(x^2-x+1)
法一 初微
這題積得出來,只是結果很繁而已.用精華區(z-3-15)的技巧來積.
(x^2+1) dx (1+ 1/x^2) dx
A = ∫ -------------- = ∫ ----------------- , let u = x - 1/x :
x^4 +x^2 +1 (x- 1/x)^2 + 3
du 1 1 x^2-1
A = ∫-------- = --- arctan(u/√3) + C = --- arctan(-------) + C
u^2 +3 √3 √3 x√3
(x^2-1) dx (1- 1/x^2) dx
B = ∫ -------------- = ∫ ----------------- , let v = x + 1/x :
x^4 +x^2 +1 (x+ 1/x)^2 - 1
dv v-1 x^2-x+1
B = ∫-------- = 0.5 ln｜-----｜+ C = 0.5 ln(---------)+ C
v^2 -1 v+1 x^2+x+1
dx 1 x^2-1 1 x^2+x+1
所以 ∫ ------------ = (A-B)/2 = ---- arctan(-------) + ---ln(---------) +C
x^4 +x^2 +1 2√3 x√3 4 x^2-x+1
最後代上下限,注意是暇積分.
∞ dx 1 x^2-1 1 x^2+x+1 ∞
∫ ------------ = [ ---- arctan(-------) + ---ln(---------) ]
0 x^4 +x^2 +1 2√3 x√3 4 x^2-x+1 0
1
= ----- { 0.5π - (-0.5π)} = π/2√3
2√3
所以
∞ dx
∫ ------------ = π/2√3
0 x^4 +x^2 +1
法二 Fourier Transform: Parseval's Theorem
考慮 e^(-a｜k｜) e(ibk) 的 Inverse Fourier Transform,其中a>0.
1 ∞
F^-1{e^(-a｜k｜) e(ibk)} = --------- ∫ e^(-a｜k｜) e(ibk) e^(ikx) dk =
√(2π) -∞
1 ∞ 2 ∞
-------- ∫ e^(-a｜k｜) e^(i(b+x)k) dk = ------- ∫ e^(-ak) cos(b+x)k dk =
√(2π) -∞ √(2π) 0
√2 a
---- --------------- ,
√π a^2 + (b+x)^2
a √π
所以 F{ --------------- } = ---- e^(-a｜k｜) e(ibk)
a^2 + (b+x)^2 √2
取 (a,b) = (√3/2 , ±1/2) . 且令
g(x) = 1/(x^2+x+1) , h(x) = 1/(x^2-x+1) .則
√(2π)
F{g(x)} = --------- e^[-√3/2｜k｜] e^[+ik/2] = G(k) ,
√3
√(2π)
F{h(x)} = --------- e^[-√3/2｜k｜] e^[-ik/2] = H(k) .
√3
Parseval's Theorem :
∞ ╴╴ ∞ ╴╴
∫ g(x)h(x) dx = ∫G(k)H(k) dk ,所以
-∞ -∞
∞ dx ∞ 2π
∫ ------------------- = ∫ ---- e^[-√3｜k｜] e^[+ik] dk =
-∞ (x^2+x+1)(x^2-x+1) -∞ 3
2π ∞ 4π √3
---- 2∫ e^[-√3k] cosk dk = ----- ------- = π/√3 .
3 0 3 3+1
因此,
∞ dx
∫ ------------ = π/2√3
0 x^4 +x^2 +1
我只想得到這兩個方法,第一個初微硬解其實不算是方法.而且這兩個都比複變慢許多.
所以複變的留數定理是很有用的工具.
有錯請指正.
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