[分析] 均勻收斂

[Veetle (Veetle)]

{a }  is a decreasing posotive sequence, prove that:
  n



(1)
  ∞
  Σ  a  sin(nx) converges uniformly on |R if and only if lim  na  ＝0 .
  n=1  n                                                  n→∞  n


(2)
  ∞                                                      ∞
  Σ  a  cos(nx) converges uniformly on |R if and only if Σ a  converges .
  n=1  n                                                  n=1 n





(2)的 <= 很容易  由M-test

      => 想不出來

                       ∞
而如果(2) 解決了, 根據 Σ a  converges if and only if lim  na  ＝0
                       n=1 n                          n→∞  n
        π
以及 x＝─－y 的代換 得到 sin(nx)＝cos(ny)
        2n

(1) 就跟著解決了


但現在就卡在 (2) 的  =>



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.112.4.182
推 herstein    :x=0?
→ Veetle      :什麼...這麼簡單居然沒想到
推 herstein    :越簡單的越難想XD
推 Madroach    :XDDDDD
推 hcsoso      :XDDDDD
→ yhliu       :Σa_n converges if and only if lim n*a_n = 0 對嗎
→ yhliu       :考慮 a_n =1/(n*ln(n)), lim n*a_n = 0 但Σa_n 發散