推 hellobass :感謝你... 01/28 15:11
※ 引述《hellobass (玖哲玖哲八一折)》之銘言：
:
: 1-kx x
: lim ( ─── ) == 5 求 k 值
: x→∞ 1+kx
:
: ∞
: 因為不是 1 型的 ，所以沒法代公式
: 感謝!!
假設是在複數系中, logarithm 取 principal value.
[(1-kx)/(1+kx)]^x = exp{x ln[(1-kx)/(1+kx)]}
= exp{x [ln|(1-kx)/(1+kx)|+ i Arg((1-kx)/(1+kx))]}
若 k≠0, 則 x 夠大時 (1-kx)/(1+kx) < 0, 故
[(1-kx)/(1+kx)]^x = exp{x [ln|(1-kx)/(1+kx)|+ iπ}
= exp{x [ln|(1-kx)/(1+kx)|}*exp{ixπ}
lim x ln|(1-kx)/(1+kx)|
x→∞
ln|(1-kx)/(1+kx)|
= lim --------------------- (*)
x→∞ 1/x
若 k=0, 則 x ln|(1-kx)/(1+kx)| 恆為 0,
[(1-kx)/(1+kx)]^x = 1^x = 1 for all x.
設 k≠0, 則 |(1-kx)/(1+kx)|→1 當 x→∞; 而 1/x→0,
故 (*) 可用 L'Hospital's rule,
ln|(1-kx)/(1+kx)| -k/(1-kx)-k/(1+kx)
------------------- ～ --------------------
1/x -1/x^2
= 2kx^2/(1-k^2 x^2) → -2/k 當 x→∞
所以,
|(1-kx)/(1+kx)|^x → e^{-2/k},
但因 exp(ixπ} 當 x→∞ 時極限不存在, 故
lim [(1-kx)/(1+kx)]^x
x→∞
不存在.
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