推 wyob :感謝，我先去看先關的函數 01/28 15:21
→ hcsoso :阿, 的確, 得要解析延拓過去. 謝謝你~ 01/28 18:22
※ 引述《wyob (Go Dolphins)》之銘言：
: ∞
: ∫ (x^r)(e^-x) dx
: 0
: 如果r是實數，r的範圍是多少這積分才會收斂呢?
: 我把會的檢驗法都用過了，是不是方向錯了呢?
: 感謝
∞ 1 ∞
∫ x^r e^{-x} dx = (∫ + ∫ )(x^r e^{-x}) dx
0 0 1
在 [1,∞), for any real r, x^r e^{-x} 的瑕積分存在.
在 (0,1], x^r e^{-x} 與 x^r 的瑕積分具相同斂散性.
因此, x^r e^{-x} 的瑕積分存在 if and only if r>-1.
當 r>-1 時,
∞
∫ x^r e^{-x} dx = Γ(r+1)
0
並且可導出遞迴關係
Γ(r+1) = rΓ(r), r>0.
將這遞迴關係擴充到所有 r 不等於非正整數,即 -r 不是
非負整數, 則可擴充 Γ(.) 的定義:
Γ(r) = Γ(r+1)/r if r≠0,-1,-2,...
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