Re: [微積] 台大98微積分

[LuisSantos (但願真的能夠實現願望)]

※ 引述《maydayai ()》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 Grad-ProbAsk 看板 #1DGPdVMV ]
: 作者: maydayai () 看板: Grad-ProbAsk
: 標題: [理工] [微積分]台大98微積分
: 時間: Fri Jan 28 00:14:21 2011
: http://www.lib.ntu.edu.tw/exam/graduate/98/98050.pdf
: 第六題
:                                        2 x
: Let g(x) be the inverse function f(x)=x e  for x≧0 .
:       e
: Find ∫g(x)dx = ?
:       0
: 請問這題該怎麼解 謝謝~~


     -1
g = f   =>  f(g(x)) = x


令 f(x) = 0 , 則 (x^2)(e^x) = 0 => x = 0

令 f(x) = e , 則 (x^2)(e^x) = e => x = 1

所以 g(0) = 0 , g(e) = 1


   e
  ∫ g(x) dx
   0

            |e      e
= (x)(g(x)) |   -  ∫ x d(g(x))
            |0      0

                           e
= (e)(g(e)) - (0)(g(0)) - ∫ f(g(x)) d(g(x))
                           0

                1
= (e)(1) - 0 - ∫ f(y) dy
                0

       1
= e - ∫ f(x) dx
       0

       1
= e - ∫ (x^2)(e^x) dx
       0

                  |1    1
= e - ((x^2)(e^x) |  - ∫ (e^x)(2x) dx)
                  |0    0

                    1
= e - (e - 0 - (2)(∫ (x)(e^x) dx))
                    0

       1
= (2)(∫ (x)(e^x) dx)
       0

               |1     1
= (2)((x)(e^x) |  -  ∫ e^x dx)
               |0     0

              |1
= (2)(e - e^x |  )   =  (2)(e - (e - 1))  =  (2)*(1)  =  2
              |0




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