推 Cla :3q 來去看看H.P.V 01/29 15:44
※ 引述《Cla (Jay)》之銘言：
: 一題簡單定積分的疑惑
: 1
: ∫ 1 / x^2 dx
: -1
: 用圖形來看積分面積應該是恆正
: 可是算出來的答案卻是 -2
: 可以請教大大 我的想法哪裡有問題嗎
: b 1
: =lim ∫1/x^2 dx + lim ∫ 1/x^2 dx
: b→0 -1 b→0 b
: b 1
: =lim {-1/x}| + lim {-1/x}|
: b→0 -1 b→0 b
: =lim { [- (1/b) -1] + [-1 + (1/b)] } = -2 (-2與圖形面積恆正矛盾? )
: b→0
事實上這個積分屬於超奇異積分
因為積分時會通過0這個奇異點
而且Cauchy principal value積分不存在
所以要用Hadamard principal value積分
其實就是把Cauchy principal value積分會發散的部分拿掉
1 -ε 1
H.P.V. ∫ 1/x^2 dx = lim [∫ 1/x^2 + ∫ 1/x^2 -2/ε]
-1 ε->0 -1 ε
|-ε | 1
= lim [ -1/x | -1/x | -2/ε]
ε->0 |-1 |ε
= lim [ 1/ε -1 -1 + 1/ε - 2/ε]
ε->0
= -2
所以取Hadamard principal value積分的確是 -2
但那是把積分發散部分拿掉之後的結果
在邊界元素法有一派學者就在處理這類超奇異積分
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