推 pentiumevo :很清楚！感謝您！ 01/29 18:45
※ 引述《pentiumevo (pentiumevo)》之銘言：
: 題目：設P(x)是n次實係數多項式，若P(x)的根都是實數，求證P'(x)的根也都是實數。
: 我知道代數基本定理是說複係數n次多項式有n個根。
: 不過我不知道實係數多項式根的個數與deg有無關係？
: 這一題要怎麼寫出一個比較嚴謹的證明呢？
: 拜託大家幫忙了，謝謝。
先把 P 分解
n_1 n_k
P(x)=C(x-x_1) ...(x-x_k)
其中 x_1 < ... < x_k
由 Rolle's Thm. 知道：P'(x)在(x_i,x_(i+1))都有實根
目前已經知道P'(x)有k-1個實根
n_i -1
另外，(x-x_i) 是P'(x)的因式，所以知道P'(x)的根有(n_i -1)個x_i
（真的去把P微分就知道了）
目前已經知道P'(x)有 k-1 + (n_1 -1) + ... + (n_k -1) 個實根
也就是知道P'(x)有 -1 + n_1 + ... + n_k = n-1 個實根
但是根據代數基本定理，P'(x)總共有 n-1 個複數根
所以P'(x)的根全部是實根
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