推 monzo :好槍~ 02/01 17:23
※ 引述《monzo ()》之銘言：
: http://ezproxy.lib.ncu.edu.tw:8080/~arhui/cexamn/exam/SC02_97_02.pdf
: 1.(a)
: integral(0,pi) 1/(a-cosx) dx
π
∫1/(a-cosx) dx，式中 a > 1
0
方法一：
令 t = tan(x/2)
cosx = (1-t^2)/(1+t^2)
dx = 2/(1+t^2) dt
t 從 0 到 ∞
原積分式等於
∞
∫2/(a(1+t^2)-(1-t^2)) dt
0
∞
=∫2/((a+1)t^2+(a-1)) dt
0
令 √(a+1) t = √(a-1) y
原積分式等於
∞
2/√((a+1)(a-1)) ∫1/(y^2+1)dy
0
|∞
= 2/√(a^2-1) arctany| = π/√(a^2-1)
|0
方法二：
π 2π
∫1/(a-cosx) dx = (1/2)∫1/(a-cosx) dx
0 0
令 z = exp(ix)
cosx = (z+1/z)/2
dx = 1/(iz) dz
contour C 是以原點為圓心的單位圓。
原積分式等於 contour integral
-(1/i)∫1/(z^2-2az+1) dz
C
z^2 - 2az + 1 = 0
→ z = a +- √(a^2-1)
其中 z- = a - √(a^2-1) 在 C 裡面，
z+ = a + √(a^2-1) 在 C 外面。
原積分式等於
|
-(1/i)(2πi) 1/(2z-2a)|
|z = z-
=π/√(a^2-1)
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