推 JASONVI :阿鄉大您好 下面那篇寫不能直接考慮sinz/z(1+z^2)耶 02/02 01:41
→ JASONVI :解答上面是寫您的二個方法 用exp(iz)/z(1+z^2) 02/02 01:43
推 JASONVI :在這感謝您熱情的解說 02/02 01:45
→ yusd24 :的確是不行啊..因為你沒辦法算外面圓弧的積分 02/02 08:50
用留數算複變函數的積分很容易，
所以常常會把實函數想成複變函數來處理問題，
例如你這題想要做的定積分。
至於避點不避點的問題，在於你選的複變函數。
例如這題你想要選
f(z) = (sin z)/z(1+z^2)
注意到此時你在對上半圓做 contour 積分的時候，
你的函數在積分路徑上不會有問題，所以可以用留數定理解決問題。
不過如果你是選這個函數的話，
或許你很難說這個函數在圓弧上的積分會收斂到 0(也許根本不會是)。
然而這是留數積分最厲害的地方 ─
把你不會算的積分加上一段「無窮大的圓弧」積分變成封閉曲線，
然後發現這段「無窮大的圓弧」積分是零(或是一個可以算的數字)。
這樣就可以想成封閉曲線，再用留數定理。
如果你選的複變函數是
f(z) = e^{iz}/z(1+z^2)
然後想要先利用留數算這個函數在上半圓的積分，再取虛部。
這個時候你就不再能夠只取「上半圓」，
因為複變函數的線積分不可以讓曲線經過 pole。
因此我們就動點手術，用一個小小的圓弧繞過 z=0。
用這個路徑來取代上半圓。
若是我們可以證明，當這個小圓弧半徑收斂到 0 、與大半圓半徑趨近無窮的時候，
f(z) 在小圓弧上面的積分與大半圓弧上的積分收斂到零(或是某個可以算的數字)，
那我們原本要算的積分就可以想成是這個 "contour" 的積分，套用留數定理。
我們可以先觀察一下 f(z) 在實軸上的積分變成 g(x) 的積分 (從負無窮到無窮)
g(x) = (cos x)/x(1+x^2) + i(sin x)/x(1+x^2)
問題就是這個時候 g(x) 的積分其實是瑕積分，瑕點在 x=0 (g(x)的實部部分)
但是你也可以看到 g(x) 的虛部在 x=0 不是瑕點，
所以你這樣假設複變函數的話，你就必須要考慮這個瑕點的影響，修改路徑。
雖然付出這個代價，
但是此時你可以很容易的證明大圓弧的積分會收斂到零。
而小圓弧的積分是可以算的！
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