Re: [分析] 複變的實數定積分

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《JASONVI (大目)》之銘言：
: doom8199大您好
: 您說要看被積函數是啥
: 那以此題為例
:      ∞ sinx dx
:    ∫  ----------
:     -∞ x(1+x^2)
:             sinz
: 以f(z) = ----------  來說 z = 0為可去奇點，極點:z = +i,-i
:           z(1+z^2)
: 那如果化成
:             exp(iz)
: f(z) = Im{-----------}   那z = 0是屬於極點，就不是可去奇點了嗎?
:            z(1+z^2)
: 那這樣對他積分上半圓 實數軸上的0就要對他做避點積分嗎?


 <1>
                           sin(z)
    不能直接考慮   f(z) = ────   阿 XD
                          z(1+z^2)


    因為當你使用半圓 contour 來算積分

    其外圍積分的絕對值不會收斂至 0  if 半徑R→∞

    也就是

          ∞    sin(x)                    sin(z)
         ∫    ──── dx ≠ 2πi* Res{ ────, i }
          -∞  x(1+x^2)                  z(1+z^2)

                           = π*sinh(1)


    除非你有辦法自己設計出很奇怪的 contour

    最後可以推得原始瑕積分



 <2>

    考慮以下積分

                                    exp(iz)
        ∮  g(z) dz    for  g(z) = ────
         c                         z(1+z^2)


    g(z) 具有 一階 pole  z=0 , z=i、 z=-i

    所以一般書上會用大小半圓來定義 c

    並且外圍積分會收斂至 0

    所以最後可以得到:


      ∞    sin(x)
     ∫    ──── dx = Im{ πi* Res{ g(z), 0 } + 2πi*Res{ g(z), i} }
      -∞  x(1+x^2)
                       = Im{ πi*1 - πi*exp(-1) }

                       = π*[1-exp(-1)]




    但若考慮的積分為如下：

                                   exp(iz) - 1
        ∮  h(z) dz    for  h(z) = ──────
         c                          z(1+z^2)


    h(z) 在 z=0 雖沒有定義

    但重點在於其鄰域具有很好的性質

    所以在算 contour 積分的時候

    c 有沒有繞過 z=0 附近都沒差

    因此:


      ∞    sin(x)
     ∫    ──── dx = Im{ 2πi*Res{ h(z), i} }
      -∞  x(1+x^2)
                                  exp(-1) - 1
                       = Im{ 2πi*────── }
                                      -2

                       = π*[1 - exp(-1)]



    若你考慮的被積函數是 h(z)

    並且 contour 的設計也有繞過 z=0 該點

    那結果會變成：


      ∞    sin(x)
     ∫    ──── dx = Im{ πi*Res{ h(z), 0} + 2πi*Res{ h(z), i} }
      -∞  x(1+x^2)

                       = Im{ πi*0 + 2πi*Res{ h(z), i} }

                       = ...

    答案不變



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.64.93.41
→ JASONVI     :doom8199大您好 這樣寫我已經大致可以了解
→ JASONVI     :解答也是用g(z)的方法算，不過您的h(z) 為什麼可以令
→ JASONVI     :成[exp(iz)-1]/z(1+z^2)阿??
推 JASONVI     :這邊我就不懂了
    因為你是要利用自己假設的 model 來 "湊答案"

    考慮一 closed contour 積分:

        ∮  h(z) dz = 2πi*Σ_k Res{ h(z), p_k}     for finite poles
         c

         R              π     iθ     iθ
    →  ∫   h(x) dx + ∫  h(Re   )*iRe   dθ = 2πi*Σ_k Res{ h(z), p_k}
         -R             0
                       ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

    箭頭標示的積分在半徑 R 大到一定程度的時候

    其積分值會開始有往 z=0 逼近的趨勢 (可以自己證明看看)

    所以最後當 R→∞

               ∞
    即可知道  ∫   h(x) dx = ?
               -∞

                      ∞   cos(x) - 1             ∞    sin(x)
    也就是同時知道   ∫    ───── dx   和    ∫    ──── dx
                      -∞   x(1+x^2)              -∞  x(1+x^2)

    而後者正是我們想要求得的結果，那假設的 model 就是有意義的




    再來假設 h(z) 還有一個目的

    就是故意讓 h(z) 在 z=0 點變成是 removable singular point

                           iz              1      2
    簡單的 idea 可以考慮  e   = 1 + (iz) + ─*(iz)  + ...
                                           2
    這樣你應該就可以看出我為何要假設 h(z)



    這樣子假設優點在於可以少算很多留數值

    尤其是遇到 higher order pole，計算量會減低的很明顯 (因為省去微分動作)

    但還是會付出 penalty

    那就是證明其它路徑的積分是否會收斂於 0、

    或是作一些變數變換 相對上會變困難
※ 編輯: doom8199        來自: 61.64.93.41          (02/03 00:00)
推 JASONVI     :大年初一在這先跟您拜個年 感謝您大年初一還上來解惑
                happy new year of Rabbit !!
→ JASONVI     :那cosx-1 這三角函數是怎麼變出來的??
→ JASONVI     :是exp(iz)-1 = cosz + sinz -1 嗎??
                對，不過 sin(z) 要乘上 i，應該是原po筆誤
→ JASONVI     :所以變成Re{cosx-1)+Im{sinx} ??
推 JASONVI     :所以令exp(iz)-1的用意 其實跟exp(iz)意思一樣 都是
→ JASONVI     :可以取Im{sinx} 但是設成exp(iz)-1 可以讓z=0 變成
→ JASONVI     :removealbe singular point
→ JASONVI     :我這樣解釋有錯嗎??
                解釋是對的
推 JASONVI     :所以前面的推文說 避點跟不避點意思ㄧ樣 但是函數要
→ JASONVI     :令成h(z)才可以 如果令成g(z)就需要避點了
                這個可能要問版上推文的先進 ><
                或許有其它的用意
                但我的話會解讀成 被積函數不適用此提

                我猜推文者是考慮以下 closed contour int. :

                                             sin(z)
                 ∮ f(z) dz     for  f(z) = ────
                  c                         z(1+z^2)

                對此積分來說， c 有沒有繞過 z=0 該點都沒差

                                   ∞    sin(x)
                但是該積分對求解  ∫    ──── dx   "可能"無實質幫助
                                   -∞  x(1+x^2)
※ 編輯: doom8199        來自: 61.64.93.41          (02/03 23:31)