作者ilovecs34 (彼得)
看板Math
標題Re: [線代] 一題關於對稱矩陣證明
時間Wed Feb 2 16:08:18 2011
※ 引述《hcl012 (怪龍-卡西歐魯)》之銘言：
: 一個對稱矩陣Ｍ有eigenvector u_i 和 eigenvalue λ_i
: 也就是說 Ｍ * u_i = λ_i * u_i
: Ｄ T
: 題目是證明 Ｍ = Σ λ_i * u_i * u_i
: i=1
: D是矩陣Ｍ內的行數
: T
: 因為Ｍ是對稱矩陣的關係，所以u_i * u_i是單位矩陣
: 所以我們可以得到
: T
: Ｍ * u_i = λ_i * u_i = λ_i * u_i * u_i * u_i
: 然後把兩邊的u_i去掉
: T
: Ｍ = λ_i * u_i * u_i
: 問題主要是在於右邊的Σ是怎麼出現的呢?
: Ｄ t
: 照這樣推導的話Σ λ_i * u_i * u_i應該是等於D*Ｍ才對
: i=1
: 是我的推導哪裡出了問題了嗎?
: 如果我的證法有誤的話，正確的證法是如何呢?
一個對稱矩陣Ｍ有eigenvector u_i 和 eigenvalue λ_i
也就是說 Ｍ * u_i = λ_i * u_i
Ｄ T
( Σ λ_i * u_i * u_i)*u_j
i=1
T T
=(λ_1 * u_1 * u_1)*u_j+...+(λ_D * u_D * u_D)*u_j
T
=(λ_j * u_j * u_j)*u_j
T
=λ_j * u_j *(u_j*u_j) =λ_j * u_j = M * u_j
Ｄ T
Hence, Ｍ = Σ λ_i * u_i * u_i.
i=1
這是我想出來的推導,有錯誤也請大方更正orz.
你推導的部分，我覺得約掉(u_i)的地方感覺怪怪的。 囧rz
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◆ From: 114.47.171.85
推 moon2519 :M是對稱實矩陣所以M可以"正交對角化"~ 02/02 20:38
→ moon2519 :再做右乘ui(eigenvector) ~ 以上淺見 ~ 02/02 20:39
→ moon2519 := =仔細重看一便...抱歉我好像誤會了...題目要證的好 02/02 20:56
→ moon2519 :像就是M可否表達為正交對角?? orz... 02/02 20:56
→ ilovecs34 :我不太懂樓上的意思是= =? 02/02 21:47
推 hcl012 :啊...的確是不能把兩邊的u_i同時去掉，是我搞錯了 02/03 02:08
推 Vulpix :最後一步用右乘u_j^T，再對j加總。這個要說出來 02/04 01:22
推 moon2519 :哈~我也看不懂我在回什麼了...= =sorry...別在意XDD 02/04 20:39
→ moon2519 :我覺得你的証明方式比較clear耶!! 02/04 20:40
→ ilovecs34 :謝謝 因為我偷懶了很多細節QQ 02/04 21:56