→ sardine :簽名檔是什麼意思 02/04 17:06
推 ckshkevin :感謝！ 02/05 21:23
※ 引述《ckshkevin (~~工作工作~~)》之銘言：
: lim n/(n!)^(1/n) when n-> infinite
: Hint: Using the integral ( integral from 0 to 1 logx dx )
: 有點沒頭緒不知如何運用Hint
: 感謝
n
lim ------------
n→∞ (n!)^(1/n)
n
= lim exp(ln(------------))
n→∞ (n!)^(1/n)
n
= exp(lim ln(------------))
n→∞ (n!)^(1/n)
1
= exp(lim ln(n) - (---)(ln(n!)))
n→∞ n
1
= exp(-(lim (---)(ln1 + ln2 + ... + ln(n) - nln(n))))
n→∞ n
1
= exp(-(lim (---)((ln1 - ln(n)) + (ln2 - ln(n)) + ... + (ln(n) - ln(n)))))
n→∞ n
1 1 2 n
= exp(-(lim (---)(ln(---) + ln(---) + ... + ln(---))))
n→∞ n n n n
1 n k
= exp(-(lim (---)(Σ ln(---))))
n→∞ n k=1 n
1
= exp(-∫ lnx dx)
0
1
= exp(-lim ∫ lnx dx)
a→0+ a
|1 1 1
= exp(-lim (x)(lnx)| - ∫ (x)(---) dx) (令 u = lnx , dv = dx)
a→0+ |a a x
1
= exp(-lim (a)(lna) - ∫ 1 dx)
a→0+ a
|1
= exp(-lim (a)(lna) - x | )
a→0+ |a
ln(a)
= exp(-(lim -------- - (1 - a)))
a→0+ a^(-1)
1/a
= exp(-(lim -------------- + a - 1))
a→0+ (-1)(a^(-2))
= exp(-(lim -a + a - 1)) = e
a→0+
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